쎈미적분1 0545

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 05 함수의 극대·극소

0545
대표문제
함수의 극대·극소
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함수 f(x)=x3−6x2+9x+1의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

극대·극소의 세 단계 절차를 그대로 밟을 수 있는지 확인하는 문제

도함수를 구하고, f′(x)=0의 해를 찾고, 그 좌우에서 부호를 조사한다 — 이 순서가 이 단원의 전부입니다. 대표문제이므로 요령이 아니라 표를 정확히 그리는 습관을 만드는 것이 목적입니다. 마지막에 묻는 것이 극값이 되는 x가 아니라 극값 자체라는 점만 놓치지 않으면 됩니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 출발점
극댓값·극솟값을 구하라는 말은 곧 f′(x)=0인 x를 찾아라와 같습니다.
f′(x)=3x2−12x+9까지 구했다면, 다음은 인수분해입니다. 공통인수 3을 먼저 묶으세요.
힌트 2 — 부호표
f′(x)=3(x−1)(x−3)이므로 f′(x)=0에서 x=1 또는 x=3.
이제 표를 그리세요. x<1 / 1<x<3 / x>3 세 구간에서 f′의 부호가 각각 +, −, +입니다. 부호가 양에서 음으로 바뀌는 곳이 극대, 음에서 양으로 바뀌는 곳이 극소입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x=1에서 극대, x=3에서 극소인 것까지 왔다면 절반입니다.
문제가 요구한 것은 x값이 아니라 f(1)과 f(3)입니다. 두 함숫값을 직접 계산해서 (극댓값)−(극솟값)을 하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 4

쎈 미적분1 0545번 해설

풀이영상

검산용 — 삼차함수의 극댓값−극솟값 공식

f(x)=a(x−α)(x−β) 꼴로 f′이 인수분해되는 삼차함수에서 (극댓값)−(극솟값)=(|a|/2)(β−α)3입니다.
여기서는 a=1, α=1, β=3이므로 (1/2)×23=4. 함숫값을 두 번 계산한 결과와 맞는지 확인하는 용도로만 쓰세요. 시험에서는 표를 그린 풀이가 정석입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • x=1, x=3을 답으로 적는다
    이건 극값을 갖는 x입니다. 극값은 f(1)=5, f(3)=1. “극댓값”이라는 단어에 이미 값이라는 뜻이 들어 있습니다.
  • 3x2−12x+9에서 3을 흘린다
    3(x2−4x+3)=3(x−1)(x−3)입니다. 3을 빼먹어도 근은 같아서 이 문제는 답이 맞지만, 접선·넓이 문제로 가면 그대로 오답이 됩니다. 지금 고치세요.
  • f(3) 계산에서 −6x2을 틀린다
    27−54+27+1=1. −6×9=−54를 −18로 쓰는 실수가 가장 많습니다. 항마다 값을 따로 적고 더하세요.
  • “작은 x가 극대”라고 외운다
    최고차항 계수가 양수인 삼차함수일 때만 맞는 말입니다. 계수가 음수면 정반대가 됩니다. 외우지 말고 부호표를 그리세요.
  • 차를 −4로 적는다
    (극댓값)−(극솟값) 순서입니다. 5−1=4. 문장을 다시 읽고 어느 쪽에서 어느 쪽을 빼는지 확인하세요.


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