쎈수학 미적분Ⅰ · 04 여러 가지 미분법
0457
난이도 상
두 곡선의 교점에서의 접선
풀이영상 있음
난이도 상
두 곡선의 교점에서의 접선
풀이영상 있음
먼저 보기
풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
접선 문제가 아니라 교점부터 잡는 문제
두 접선이 같은 점 P에서 출발한다는 것이 이 문제의 전부입니다. P를 구하면 접선 두 개는 미분계수만 대입하는 기계적 작업이고, 마지막 넓이는 x축 위 두 절편을 밑변, P의 y좌표를 높이로 쓰는 삼각형 하나입니다. 순서를 지키면 세 줄, 순서를 뒤집으면 길을 잃습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 접선보다 먼저 할 일
접선 얘기는 잠시 미루세요. 먼저 두 곡선이 만나는 점을 구해야 합니다.
x²−2x+2=−x²+6을 정리하면 t²−t−2=0. 두 근 중 제1사분면이라는 조건에 맞는 것 하나만 살아남습니다.
x²−2x+2=−x²+6을 정리하면 t²−t−2=0. 두 근 중 제1사분면이라는 조건에 맞는 것 하나만 살아남습니다.
힌트 2 — 접선 두 개
P(2, 2)입니다. 접점이 정해졌으니 접선은 공식대로입니다.
f′(x)=2x−2에서 f′(2)=2 ⟹ l: y=2x−2, g′(x)=−2x에서 g′(2)=−4 ⟹ m: y=−4x+10. 어느 기울기가 어느 곡선의 것인지 표시해 두세요.
f′(x)=2x−2에서 f′(2)=2 ⟹ l: y=2x−2, g′(x)=−2x에서 g′(2)=−4 ⟹ m: y=−4x+10. 어느 기울기가 어느 곡선의 것인지 표시해 두세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
둘러싸인 도형은 꼭짓점이 P와 두 x절편인 삼각형입니다. l의 x절편은 1, m의 x절편은 5/2.
밑변은 x축 위 길이 5/2−1, 높이는 P의 y좌표 2입니다. x좌표가 아닙니다.
밑변은 x축 위 길이 5/2−1, 높이는 P의 y좌표 2입니다. x좌표가 아닙니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ④ 3/2
더 빠른 길 — x절편을 공식으로
P(2, 2)를 지나고 기울기가 k인 직선의 x절편은 2−2/k입니다. 접선 방정식을 정리할 필요 없이 k=2일 때 2−1=1, k=−4일 때 2+1/2=5/2.
밑변 = 5/2−1 = 3/2, 높이 = 2이므로 넓이는 (1/2)·(3/2)·2 = 3/2. 계산이 두 줄로 줄어듭니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
t=−1을 버리지 않는다
t²−t−2=0의 근은 −1과 2입니다. 문제는 제1사분면 위의 점을 요구했으므로 t>0, 즉 t=2만 남습니다. 근을 두 개 다 끌고 가면 답이 갈립니다. -
두 접선의 기울기를 서로 바꿔 쓴다
l은 y=x²−2x+2의 접선(기울기 2), m은 y=−x²+6의 접선(기울기 −4)입니다. 곡선 이름을 접선 옆에 적어 두고 대입하세요. -
높이를 P의 x좌표로 잡는다
밑변이 x축 위에 있으므로 높이는 P에서 x축까지의 거리, 즉 y좌표 2입니다. P(2, 2)라 값이 같아 보이지만 다른 문제에서 그대로 틀립니다. -
x절편을 y절편과 혼동한다
y=−4x+10에서 10은 y절편입니다. 도형을 만드는 것은 x절편 5/2입니다. y=0을 대입했는지 확인하세요. -
그림을 그리지 않고 넓이를 세운다
기울기가 하나는 양수, 하나는 음수라 두 접선이 P 아래에서 x축과 만나 삼각형이 닫힙니다. 개형을 그려야 어떤 도형인지 확정됩니다.
다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기 ›
문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트