쎈미적분1 0458

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 여러 가지 미분법

0458
대표문제
곡선과 원의 접선
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쎈 미적분1 0458번 문제

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출제의도

원이 접한다 = 중심과 접점을 잇는 선이 접선과 수직

원에는 미분법을 쓸 수 없습니다. 대신 원의 성질 하나를 씁니다. 접점에서 곡선의 접선과 반지름 CP가 수직이라는 것. 곡선 쪽 기울기는 미분으로, 원 쪽 기울기는 두 점 사이의 기울기로 각각 구한 뒤 곱해서 −1로 놓는 것이 이 유형의 표준 절차입니다. 반지름은 그렇게 얻은 접점과 중심 사이의 거리입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇을 미지수로 둘까
원의 방정식과 곡선을 곧바로 연립하려 했다면 잠깐 멈추세요. x에 대한 4차식이 나옵니다.
접점을 P(t, t²/2)로 두는 것이 출발점입니다. f(x)=x²/2에서 이 점에서의 접선 기울기는 얼마인가요?
힌트 2 — 수직 조건 세우기
접선의 기울기는 f′(t)=t, 직선 CP의 기울기는 (t²/2−3)/t = (t²−6)/(2t)입니다.
원의 접점에서 접선 ⊥ 반지름이므로 두 기울기의 곱은 −1. 식을 세우고 t로 약분해 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
정리하면 (t²−6)/2 = −1, 즉 t²=4이므로 t=±2. 접점이 두 개 나오는 것이 “서로 다른 두 점에서 접한다”와 맞아떨어집니다.
구할 것은 t가 아니라 반지름입니다. C(0, 3)과 접점 (2, 2) 사이의 거리를 계산하세요.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ④  √5

쎈 미적분1 0458번 해설

더 빠른 길 — y로 치환한 판별식

원 x²+(y−3)²=r²에 곡선을 x²=2y 꼴로 대입하면 2y+(y−3)²=r², 즉 y²−4y+9−r²=0.
두 점에서 접하려면 이 y에 대한 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 D/4 = 4−(9−r²)=0 ⟹ r²=5, r=√5.
덤으로 y=2, x²=4에서 접점 (±2, 2)까지 나옵니다. 미분 없이 한 줄입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • x에 대한 4차식으로 판별식을 쓴다
    연립하면 x⁴이 나오고 판별식은 쓸 수 없습니다. 판별식으로 가려면 반드시 x²=2y로 y에 대한 이차식으로 바꿔야 합니다.
  • 원을 미분하려 든다
    원의 접선은 미분이 아니라 성질로 처리합니다. “중심과 접점을 잇는 직선 ⊥ 접점에서의 접선”이 이 유형의 유일한 연결고리입니다.
  • 반지름을 중심에서 원점까지로 잡는다
    C(0, 3)에서 원점까지는 3이지만 접점은 원점이 아닙니다. 반지름은 C에서 접점 (2, 2)까지의 거리 √5입니다.
  • t=2 하나만 쓰고 넘어간다
    t²=4에서 t=±2, 접점은 (−2, 2)와 (2, 2) 두 개입니다. “서로 다른 두 점에서 접한다”는 조건이 여기서 확인됩니다. 서술형이면 이 문장을 적으세요.
  • CP의 기울기에서 분모 2t를 흘린다
    (t²/2−3)/(t−0)을 정리할 때 분모·분자에 2를 곱해 (t²−6)/(2t)로 만드는 과정에서 2가 자주 사라집니다. 답이 t²=2로 나왔다면 이 경우입니다.


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