쎈수학 미적분Ⅰ · 04 여러 가지 미분법
0456
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접선과 도형의 넓이
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문제를 읽자마자
출제의도
접점부터 찾지 말고, 도형에서 기울기를 먼저 뽑아라
이 문제는 “접점이 주어진 접선”이 아니라 “기울기가 주어진 접선”입니다. 정사각형이라는 조건 하나에서 직선 AB의 기울기가 1로 확정되고, 그다음 f′(t)=1을 풀어 접점을 역으로 찾습니다. 넓이는 마지막 한 줄일 뿐, 문제의 몸통은 기울기를 어디서 얻느냐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그림에서 얻을 것부터
A, C가 y축 위, B, D가 x축 위에 있다는 말은 두 대각선의 교점이 원점 O라는 뜻입니다.
정사각형의 대각선은 길이가 같고 서로 수직이등분하므로 △ABO는 어떤 삼각형인가요? 그러면 ∠ABO는 몇 도인가요?
정사각형의 대각선은 길이가 같고 서로 수직이등분하므로 △ABO는 어떤 삼각형인가요? 그러면 ∠ABO는 몇 도인가요?
힌트 2 — 기울기 → 접점
∠ABO=45°이므로 직선 AB의 기울기는 tan45°=1입니다.
f(x)=−x²+2, f′(x)=−2x이고 접점을 (t, −t²+2)로 두면 f′(t)=1. t의 부호가 음수로 나오는지 확인하세요. AB는 그림에서 왼쪽 위로 가는 변입니다.
f(x)=−x²+2, f′(x)=−2x이고 접점을 (t, −t²+2)로 두면 f′(t)=1. t의 부호가 음수로 나오는지 확인하세요. AB는 그림에서 왼쪽 위로 가는 변입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
접점 (−1/2, 7/4)를 지나고 기울기가 1인 직선을 세우면 y=x+9/4. 여기서 A는 y절편, B는 x절편입니다.
구한 것은 △ABO의 넓이일 뿐입니다. 정사각형은 이 삼각형 4개로 이루어져 있습니다.
구한 것은 △ABO의 넓이일 뿐입니다. 정사각형은 이 삼각형 4개로 이루어져 있습니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 81/8
더 빠른 길 — 판별식으로 한 번에
A(0, a), B(−a, 0)으로 두면 직선 AB는 y=x+a입니다. 이것을 y=−x²+2에 대입하면 x²+x+a−2=0이고, 접한다는 조건은 D=1−4(a−2)=0 ⟹ a=9/4.
정사각형의 두 대각선 길이가 모두 2a이므로 넓이는 (1/2)·2a·2a=2a²=2·(81/16)=81/8. 접점을 구하지 않고 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
접점을 꼭짓점 B로 착각한다
접점 (−1/2, 7/4)는 변 AB 위의 한 점일 뿐 꼭짓점이 아닙니다. B는 직선 AB의 x절편 (−9/4, 0)입니다. -
△ABO 넓이 81/32에서 멈춘다
문제가 물은 것은 정사각형 ABCD의 넓이입니다. 대각선이 원점에서 만나므로 합동인 삼각형 4개, 반드시 ×4 하세요. -
f′(t)=−2t=1의 부호를 흘린다
t=1/2로 잡으면 접점이 오른쪽(변 AD 쪽)으로 갑니다. AB의 기울기가 +1이면 접점의 x좌표는 음수, t=−1/2입니다. -
기울기 1의 근거를 적지 않는다
“대각선의 교점이 원점 ⟹ △ABO는 직각이등변삼각형 ⟹ ∠ABO=45°”까지가 한 세트입니다. 서술형에서 이 줄이 빠지면 감점입니다. -
AB와 AD의 기울기를 바꿔 쓴다
AD의 기울기는 −1입니다. 대칭이라 답은 같지만, 접점 좌표와 절편 부호가 전부 반대로 나옵니다. 그림에서 어느 변인지 표시하고 시작하세요.
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