쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0455
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곡선 밖의 점에서 그은 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
A(2, 3)은 접점이 아니다 — 접점을 t로 놓고, 접선이 A를 지난다는 조건을 나중에 쓰라는 문제
2²=4≠3이므로 A는 곡선 밖의 점입니다. “두 개의 접선”이라는 표현 자체가 접점이 두 개라는 예고이고, 그 두 개는 t에 대한 이차방정식의 두 근으로 나옵니다. 접점 → 접선 → A 대입, 이 순서를 뒤집지 않는 것이 핵심입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — A는 곡선 위에 있는가
y=x²에 x=2를 넣으면 4입니다. A의 y좌표는 3이므로 A는 곡선 밖의 점입니다.
그러니 f′(2)를 기울기로 쓰면 안 됩니다. 접점을 (t, t²)로 새로 놓는 것이 첫 줄입니다.
그러니 f′(2)를 기울기로 쓰면 안 됩니다. 접점을 (t, t²)로 새로 놓는 것이 첫 줄입니다.
힌트 2 — 접선을 먼저, 대입은 나중에
f′(x)=2x이므로 접점 (t, t²)에서의 접선은 y−t²=2t(x−t), 즉 y=2tx−t²입니다.
이 직선이 A(2, 3)을 지나므로 3=4t−t². 정리하면 t²−4t+3=0이고, 근이 두 개 나오는 것이 곧 접선이 두 개라는 뜻입니다.
이 직선이 A(2, 3)을 지나므로 3=4t−t². 정리하면 t²−4t+3=0이고, 근이 두 개 나오는 것이 곧 접선이 두 개라는 뜻입니다.
힌트 3 — 삼각형의 밑변과 높이
t=1, 3에서 접선은 y=2x−1, y=6x−9이고 x절편은 1/2, 3/2. B, C가 이 두 점입니다.
밑변 BC는 x축 위에 있으므로 길이는 3/2−1/2=1이고, 높이는 A의 y좌표인 3입니다(x좌표 2가 아닙니다).
넓이 3/2를 a/b로 읽을 때 a와 b를 뒤집지 않도록 주의하세요.
밑변 BC는 x축 위에 있으므로 길이는 3/2−1/2=1이고, 높이는 A의 y좌표인 3입니다(x좌표 2가 아닙니다).
넓이 3/2를 a/b로 읽을 때 a와 b를 뒤집지 않도록 주의하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② a²+b² = 13
풀이영상
다른 길 — 판별식으로 기울기 잡기
A를 지나는 직선을 y=m(x−2)+3으로 놓고 y=x²과 연립하면 x²−mx+2m−3=0.
접한다 = 중근이므로 D=m²−8m+12=0에서 m=2 또는 m=6. 곧바로 y=2x−1, y=6x−9가 나옵니다. 접점 좌표를 물어보지 않는 문제라면 이쪽이 빠릅니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
A(2, 3)을 접점으로 착각한다
f′(2)=4를 기울기로 써서 접선을 하나만 구하는 전형적인 실수입니다. 접선을 그리기 전에 그 점이 곡선 위인지부터 대입해 확인하세요. -
삼각형의 높이를 2로 잡는다
밑변 BC가 x축 위에 있으므로 높이는 A에서 x축까지의 거리, 즉 y좌표 3입니다. x좌표 2를 쓰면 넓이가 1로 나옵니다. -
a와 b를 뒤집어 잡는다
넓이가 3/2이고 a/b 꼴이므로 a=3, b=2입니다. b=3, a=2로 잡으면 a²+b²은 같아도 다른 문제에서 그대로 틀립니다. 분자가 a라는 것을 표시해두세요. -
a²+b² 대신 a+b를 구한다
3+2=5가 ①번 선택지로 버젓이 놓여 있습니다. 오답 선택지는 이런 실수를 노리고 배치됩니다. 마지막에 물음을 다시 읽으세요. -
서로소 조건을 확인하지 않는다
넓이를 6/4 같은 꼴로 두고 a=6, b=4를 쓰면 답이 52가 됩니다. 기약분수로 만든 뒤 a, b를 읽어야 합니다. -
두 접선의 x절편을 y절편과 헷갈린다
B, C는 x축과 만나는 점이므로 y=0을 대입합니다. y=2x−1에서 x=1/2, y=6x−9에서 x=3/2입니다.