쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 접선의 방정식
0450
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두 곡선의 교점에서의 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
접선을 구하는 문제가 아니라, 교점의 x좌표를 문자로 놓고 조건 두 개를 연립하는 문제
모르는 값이 a와 교점의 x좌표, 두 개입니다. 그러면 식도 두 개가 필요합니다. 하나는 “두 곡선이 그 점에서 만난다”, 다른 하나는 “기울기의 차가 1이다”. 접선의 방정식은 끝까지 한 번도 쓰지 않습니다. 필요한 것은 기울기, 즉 미분계수뿐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 모르는 것을 문자로
교점의 좌표는 주어지지 않았습니다. 구하려고도 하지 마세요. a가 문자로 남아 있는 한 −x²+2=ax²+3x를 풀어도 근이 깨끗하게 나오지 않습니다.
교점의 x좌표를 t로 놓으면 어떤 등식 하나를 바로 쓸 수 있나요?
교점의 x좌표를 t로 놓으면 어떤 등식 하나를 바로 쓸 수 있나요?
힌트 2 — 기울기는 미분계수
f(x)=−x²+2, g(x)=ax²+3x라 하면 m₁=f′(t)=−2t, m₂=g′(t)=2at+3입니다.
이제 m₁−m₂=1을 t와 a로 쓰고 정리해 보세요. a와 t가 따로 놀지 않고 at라는 덩어리로 묶이는 것이 이 문제의 핵심입니다.
이제 m₁−m₂=1을 t와 a로 쓰고 정리해 보세요. a와 t가 따로 놀지 않고 at라는 덩어리로 묶이는 것이 이 문제의 핵심입니다.
힌트 3 — 덩어리째 대입
정리하면 at=−t−2가 나옵니다. 여기서 a=(−t−2)/t로 바꾸지 마세요.
교점 조건 −t²+2=at²+3t의 우변을 at²=(at)·t로 보고 at를 통째로 대입하면 t²이 스스로 사라지고 t만 남습니다. t를 구한 뒤 at=−t−2에 되돌려 넣으세요.
교점 조건 −t²+2=at²+3t의 우변을 at²=(at)·t로 보고 at를 통째로 대입하면 t²이 스스로 사라지고 t만 남습니다. t를 구한 뒤 at=−t−2에 되돌려 넣으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a = −2
풀이영상
더 빠른 길 — 차 함수 h(x)=f(x)−g(x) 하나로
h(x)=(−x²+2)−(ax²+3x)로 두면, “교점”은 h(t)=0이고 “기울기의 차 1″은 h′(t)=1입니다. 조건 두 개가 한 함수의 값과 미분계수로 정리됩니다.
A=1+a라 하면 h(x)=−Ax²−3x+2, h′(x)=−2Ax−3. h′(t)=1에서 At=−2, 이를 h(t)=−(At)t−3t+2=0에 넣으면 2t−3t+2=0 ⟹ t=2. 따라서 A=−1, 즉 a=−2. 문자를 하나로 줄이면 계산이 절반이 됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
접선의 방정식을 실제로 구하려 든다
문제가 준 조건은 기울기의 차뿐입니다. l₁, l₂의 식은 끝까지 필요 없습니다. “접선”이라는 말이 보이면 반사적으로 y−f(t)=f′(t)(x−t)를 쓰는 습관이 시간을 잡아먹습니다. -
교점의 x좌표를 직접 구하려 한다
−x²+2=ax²+3x에는 미지수 a가 들어 있어 근이 a의 식으로 나옵니다. 근을 구하는 게 아니라 t로 놓고 조건을 쌓는 문제입니다. -
at를 a와 t로 분리한다
a=(−t−2)/t로 바꿔 대입하면 분수식이 되어 계산이 길어집니다. at²=(at)·t로 보고 덩어리째 넣어야 t²이 소거됩니다. -
m₁−m₂를 m₂−m₁로 뒤집어 쓴다
l₁은 y=−x²+2의 접선, l₂는 y=ax²+3x의 접선입니다. 순서를 바꾸면 at=−t−2가 아니라 다른 식이 나오고 답의 부호가 달라집니다. 어느 곡선이 1번인지 문제에서 다시 확인하세요. -
t를 구하고 거기서 멈춘다
t=2는 중간값입니다. 문제가 요구한 것은 상수 a. 2a=−4까지 쓰고 a=−2를 답란에 옮겨 적으세요.