쎈미적분1 0449

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 13 두 곡선의 교점에서의 접선

0449
난이도 중
교점에서의 수직인 접선
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쎈 미적분1 0449번 문제

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출제의도

0448번에서 교점이 주어진 버전 — t를 놓을 필요 없이 곧장 대입하는 문제

만나는 점 (1, 1)이 그대로 주어졌으므로 미지수는 a, b 두 개뿐이고, 조건도 “그 점을 지난다”와 “접선이 수직이다” 두 개입니다. 사실상 일차 연립방정식 한 번이면 끝납니다. 대표 문제(0448)를 t로 푼 뒤 이 문제를 풀어 보면, 교점이 주어졌을 때 계산이 얼마나 줄어드는지 체감하도록 배치된 문항입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 어느 곡선에 대입할까
y=x³은 x=1일 때 y=1이므로 점 (1, 1)을 자동으로 지납니다. 여기에 대입해도 새 정보가 없습니다.
정보가 나오는 쪽은 미지수가 들어 있는 g(x)=ax²+bx입니다. g(1)=1에서 얻는 식은 무엇인가요?
힌트 2 — 수직 조건
f(x)=x³에서 f′(x)=3x²이므로 f′(1)=3으로 이미 값이 확정됩니다. g′(x)=2ax+b이므로 g′(1)=2a+b.
두 접선이 수직이면 기울기의 곱이 −1이므로 3(2a+b)=−1. 분수가 나오는 것을 두려워하지 마세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
a+b=1과 2a+b=−1/3을 변끼리 빼면 b가 한 번에 사라지고 a만 남습니다.
a를 구한 뒤 b=1−a로 되돌리고, 문제가 물은 것이 a−b가 아니라 b−a임을 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 b − a = 11/3

쎈 미적분1 0449번 해설

더 빠른 길 — 기울기를 먼저 확정하기

y=x³의 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 f′(1)=3으로 고정된 값입니다. 여기에 수직인 직선의 기울기는 −1/3이므로, 곱해서 −1을 만들 필요 없이 g′(1)=−1/3이라고 곧장 쓸 수 있습니다.
그러면 2a+b=−1/3, a+b=1 두 식이 바로 서고, 빼면 a=−4/3, 따라서 b=7/3, b−a=11/3.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • y=x³에 (1, 1)을 대입해 식을 하나 얻었다고 착각한다
    1=1³은 항등적으로 참이라 정보가 0입니다. 조건식은 g(1)=1 하나뿐이고, 나머지 한 식은 반드시 수직 조건에서 나와야 합니다.
  • 수직인데 기울기가 같다고 쓴다
    수직이면 곱이 −1, 평행·공통접선이면 같습니다. 3(2a+b)=−1이 이 문제의 두 번째 식입니다.
  • −1/3을 −3으로 쓴다
    기울기 3에 수직인 직선의 기울기는 역수의 부호를 바꾼 −1/3입니다. 부호만 바꾸고 역수를 잊으면 a, b가 통째로 달라집니다.
  • a−b를 계산한다
    구하는 값은 b−a입니다. a=−4/3, b=7/3을 여백에 따로 적고, 큰 쪽에서 작은 쪽을 빼는 순서를 문제 문장으로 다시 확인하세요. 부호 하나로 11/3과 −11/3이 갈립니다.
  • 연립에서 분수를 먼저 없애려다 식을 흐트러뜨린다
    a+b=1과 2a+b=−1/3은 b의 계수가 같으므로 그냥 변끼리 빼는 것이 가장 빠릅니다. 양변에 3을 곱해 정수로 만들고 싶다면 두 식 모두에 곱해야 합니다.


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