쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 접선의 방정식
0451
난이도 상
두 접선의 수직 조건 · 곱의 미분법
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문제를 읽자마자
출제의도
f, g를 구하는 문제가 아니라 f′(1), g′(1) 두 수의 합과 곱을 찾는 문제
f와 g의 정체는 끝까지 알 수 없고, 알 필요도 없습니다. 주어진 세 문장 — 한 점에서 만난다, 그 점의 접선이 수직이다, 곱함수의 접선이 수평이다 — 을 각각 식으로 옮기면 f′(1)과 g′(1)에 대한 곱 조건과 합 조건이 하나씩 나옵니다. 합과 곱을 알면 두 수가 결정됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 문장을 식으로 바꾸기
주어진 문장은 세 개입니다. 하나씩 식으로 옮겨 적으세요.
① 점 (1, k)에서 만난다 ⟹ f(1)=g(1)=k
② 그 점에서 두 접선이 수직이다 ⟹ 기울기의 곱이 −1
③ y=f(x)g(x) 위의 점 (1, k²)에서의 접선이 y=k²이다 ⟹ ?
③이 무슨 뜻인지 아직 모르겠다면 힌트 2로 가세요.
① 점 (1, k)에서 만난다 ⟹ f(1)=g(1)=k
② 그 점에서 두 접선이 수직이다 ⟹ 기울기의 곱이 −1
③ y=f(x)g(x) 위의 점 (1, k²)에서의 접선이 y=k²이다 ⟹ ?
③이 무슨 뜻인지 아직 모르겠다면 힌트 2로 가세요.
힌트 2 — y=k²는 x축에 평행한 직선
k²는 상수입니다. 따라서 y=k²의 기울기는 k²가 아니라 0입니다. 즉 점 (1, k²)에서 곱함수의 미분계수가 0이라는 뜻이죠.
곱의 미분법으로 y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)를 쓰고 x=1을 넣으면 f′(1)k+kg′(1)=0. k로 묶어낸 뒤 k≠0이라는 단서를 여기서 씁니다.
곱의 미분법으로 y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)를 쓰고 x=1을 넣으면 f′(1)k+kg′(1)=0. k로 묶어낸 뒤 k≠0이라는 단서를 여기서 씁니다.
힌트 3 — 합과 곱을 알면 끝
지금까지 얻은 것은 f′(1)g′(1)=−1(곱)과 f′(1)+g′(1)=0(합)입니다.
합이 0이므로 g′(1)=−f′(1). 이를 곱 조건에 넣으면 {f′(1)}²=1, 즉 ±1. 두 값 중 어느 쪽이 f′(1)인지는 문제 끝의 조건 f′(1)<g′(1)이 정해 줍니다.
합이 0이므로 g′(1)=−f′(1). 이를 곱 조건에 넣으면 {f′(1)}²=1, 즉 ±1. 두 값 중 어느 쪽이 f′(1)인지는 문제 끝의 조건 f′(1)<g′(1)이 정해 줍니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ f′(1)−g′(1) = −2
풀이영상
객관식이라면 — 조건을 만족하는 함수를 직접 하나 잡는다
f(x)=k−(x−1), g(x)=k+(x−1)로 두면 f(1)=g(1)=k, f′(1)=−1, g′(1)=1이라 수직 조건이 성립합니다.
이때 f(x)g(x)=k²−(x−1)²이므로 미분하면 −2(x−1), x=1에서 기울기 0 ⟹ 접선은 y=k². 세 조건이 모두 맞습니다. 따라서 f′(1)−g′(1)=−1−1=−2. 조건을 만족하는 예를 하나만 잡아도 값이 유일하게 결정되는 문제라면 이 방법이 가장 빠릅니다. 단, 서술형에서는 쓸 수 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
y=k²의 기울기를 k²로 본다
k²는 상수이므로 y=k²는 수평선이고 기울기는 0입니다. 이 한 줄을 잘못 읽으면 이후 모든 식이 무너집니다. -
곱의 미분법을 f′(x)g′(x)로 쓴다
(fg)′=f′g+fg′입니다. 미분은 곱셈에 대해 분배되지 않습니다. 이 문제는 이 공식을 정확히 쓰는지 자체를 묻고 있습니다. -
k{f′(1)+g′(1)}=0에서 k로 그냥 나눈다
나눌 수 있는 근거는 문제에 적힌 k≠0입니다. 서술형이라면 “∵ k≠0″을 반드시 함께 적어야 감점이 없습니다. -
수직 조건을 f′(1)+g′(1)=−1로 쓴다
수직은 기울기의 곱이 −1입니다. 이 문제에서는 합이 0, 곱이 −1로 역할이 완전히 다르니 둘을 섞지 마세요. -
f′(1)<g′(1)을 읽지 않고 답을 낸다
{f′(1)}²=1에서 나온 두 경우 중 하나는 답이 +2가 됩니다. 선택지에 +2가 없더라도, 조건을 근거로 f′(1)=−1을 택했다고 적는 것이 정석입니다. -
f, g의 식을 실제로 찾으려 한다
f와 g는 결정되지 않습니다. 결정되는 것은 f′(1)과 g′(1)이라는 두 수뿐이라는 점을 문제 초반에 인정하고 시작해야 시간이 절약됩니다.