쎈미적분1 0434

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용

0434
난이도 상
접선의 방정식 · 넓이의 최댓값
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쎈 미적분1 0434번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

앞 문제의 최솟값을 최댓값으로 뒤집은, 같은 구조의 문제

A, B가 좌표축과의 교점이므로 선분 AB는 고정입니다. 남는 변수는 P에서 직선 AB까지의 거리 하나뿐이고, 그 거리가 최대가 되는 지점은 접선이 AB와 평행해지는 접점입니다. 다만 이 문제는 그 앞에 함정을 하나 더 깔아 두었습니다. 조건을 읽고 A와 B를 정확히 골라내는 것부터가 시작입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 두 점부터 확정하기
−x²+x+2=0을 풀면 x=−1 또는 x=2, 두 개가 나옵니다. 문제는 점 A의 x좌표가 양수라고 못 박았습니다.
그럼 A는 (2, 0)입니다. B는 y축과의 교점이므로 x=0을 대입해서 얻으세요.
힌트 2 — 무엇이 변하는가
A(2, 0), B(0, 2)는 고정이므로 AB의 길이도 고정입니다. 넓이를 키우는 것은 P에서 직선 AB까지의 거리뿐입니다.
직선 AB의 기울기를 먼저 구하세요. (0−2)/(2−0)입니다. 이 값이 다음 단계의 열쇠입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
거리가 최대가 되는 P는 접선의 기울기가 −1인 점입니다. f′(x)=−2x+1에서 −2t+1=−1, 즉 t=1 → P(1, 2).
직선 AB를 x+y−2=0으로 고쳐 쓰고 거리 공식을 적용하세요. AB=2√2도 함께 준비해 두면 마지막 줄이 한 번에 끝납니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ②  넓이의 최댓값 = 1

쎈 미적분1 0434번 해설 1
쎈 미적분1 0434번 해설 2

거리 공식이 싫다면 — 넓이를 직접 세우는 길

P(t, −t²+t+2), 0<t<2로 두고 벡터로 넓이를 직접 세워도 됩니다.
AB→=(−2, 2), AP→=(t−2, −t²+t+2)이므로 S(t)=½|(−2)(−t²+t+2)−2(t−2)|=|t²−2t|=2t−t².
S′(t)=2−2t=0에서 t=1, 최댓값 S(1)=1. 결과는 같지만 부호 처리에서 실수가 잦습니다. 밑변이 고정된 문제는 접선 평행 조건이 언제나 더 빠릅니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • A를 (−1, 0)으로 잡는다
    x축과의 교점은 두 개입니다. “점 A의 x좌표는 양수”라는 단서가 A=(2, 0)을 고정합니다. 이 한 줄을 놓치면 이후 계산이 전부 다른 문제가 됩니다.
  • 접선의 기울기를 +1로 놓는다
    기준은 직선 AB의 기울기이고, 그 값은 −1입니다. AB가 오른쪽 아래로 내려가는 직선임을 그림에서 먼저 확인하세요.
  • P가 제1사분면 위의 점이라는 조건을 흘린다
    t=1이 이 조건을 만족하는지 확인하고 넘어가야 답안이 완결됩니다. P(1, 2)는 x>0, y>0이므로 적합합니다.
  • 직선 AB의 방정식을 y=−x+2인 채로 거리 공식에 넣는다
    x+y−2=0으로 이항한 뒤에야 |1+2−2|/√(1²+1²)이 성립합니다. 이항을 건너뛰면 분모가 1이 되어 답이 √2배 커집니다.
  • 최댓값과 그때의 t를 헷갈려 4를 고른다
    구한 t=1은 위치, 물어본 것은 넓이입니다. ½·2√2·(1/√2)=1까지 계산해야 끝입니다.


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