쎈미적분1 0435

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용 · 유형 10

0435
대표 문제
접선의 방정식 · 곡선 밖의 한 점
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쎈 미적분1 0435번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

주어진 점 (0, 2)는 접점이 아니라 지나는 점이다

x=0을 y=x³+2x에 넣으면 y=0이므로 (0, 2)는 곡선 위의 점이 아닙니다. 접점을 모르는 상태이므로 접점을 (t, t³+2t)로 문자로 잡고, 그 접선이 (0, 2)를 지난다는 조건으로 t를 결정하는 것이 이 유형의 표준 절차입니다. 유형 10의 세 단계 — 접점 문자로 놓기 → 점 대입해 t 구하기 → 접선의 방정식 완성 — 를 몸에 붙이라고 배치된 대표 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 첫 판단
f′(0)=2를 기울기로 삼아 y=2x+2를 썼다면, 그건 (0, 2)를 접점으로 착각한 것입니다.
x=0일 때 곡선의 y값은 0입니다. (0, 2)는 곡선 밖의 점이에요. 접점을 어떻게 표현해야 할까요?
힌트 2 — 문자로 잡고 조건을 쓰기
접점을 (t, t³+2t)로 두면 기울기는 f′(t)=3t²+2이고, 접선은 y−(t³+2t)=(3t²+2)(x−t), 정리하면 y=(3t²+2)x−2t³입니다.
이 직선이 (0, 2)를 지납니다. x=0, y=2를 넣으면 어떤 방정식이 남나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
2=−2t³ → t³=−1 → 2(t+1)(t²−t+1)=0. t²−t+1은 판별식이 음수라 항상 양수이므로 실근은 t=−1뿐입니다.
t=−1을 접선 식에 되돌려 넣으면 y=5x+2. 문제가 물은 것은 y절편이 아니라 x절편이니, y=0을 대입해 마무리하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  x절편 = −2/5

쎈 미적분1 0435번 해설

접선이 하나뿐인 이유 — 한 줄로 확인하기

접선의 개수는 t에 대한 방정식 t³=−1의 실근의 개수와 같습니다. 3차이지만 t³+1=(t+1)(t²−t+1)이고 t²−t+1의 판별식은 1−4=−3<0이므로 실근은 t=−1 하나. 그래서 (0, 2)에서 그은 접선도 딱 하나입니다. “접선을 몇 개 그을 수 있는가”를 묻는 변형 문제가 여기서 그대로 파생됩니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 주어진 점을 접점으로 착각한다
    점이 나오면 먼저 곡선에 대입해 위에 있는지부터 확인하세요. (0, 2)는 x=0에서 y=0인 곡선 밖의 점이므로 접점을 t로 새로 잡아야 합니다.
  • 접선의 방정식을 전개하다 −2t³을 놓친다
    y=(3t²+2)x−3t³+t³+2t−2t=…처럼 얽히기 쉽습니다. y−(t³+2t)=(3t²+2)(x−t)를 정리하면 상수항은 t³+2t−3t³−2t=−2t³. 이 한 항이 뒤 계산 전부를 결정합니다.
  • t³=−1에서 t=−1만 쓰고 근거를 안 적는다
    인수분해 후 t²−t+1>0(판별식 음수)이라는 한 줄이 있어야 “실근은 하나”가 성립합니다. 서술형이면 감점 지점입니다.
  • x절편과 y절편을 바꿔 답한다
    y=5x+2에서 y절편은 2, x절편은 5x+2=0에서 −2/5입니다. 선택지에 −1, −1/5처럼 비슷한 값이 깔려 있으니 마지막에 한 번 더 확인하세요.
  • 부호를 뒤집어 2/5로 적는다
    5x=−2에서 나누는 순간 음수가 사라지기 쉽습니다. 그림으로 보면 접선은 y절편이 양수이고 오른쪽으로 올라가므로 x절편은 반드시 음수입니다.


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