쎈미적분1 0433

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용

0433
난이도 중
서술형
접선의 방정식 · 넓이의 최솟값
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쎈 미적분1 0433번 문제

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출제의도

밑변은 고정, 변하는 건 높이 하나뿐이라는 걸 보게 하는 문제

A, B는 고정된 점이므로 선분 AB의 길이는 상수입니다. 삼각형 ABP의 넓이를 좌우하는 것은 점 P에서 직선 y=x까지의 거리뿐이고, 그 거리가 최소가 되는 순간은 곡선의 접선이 직선 y=x와 평행할 때입니다. 즉 “넓이의 최솟값”이라는 말을 “접선의 기울기가 1인 접점 찾기”로 번역하는 것이 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇이 변하는지부터
점 P를 (t, t²+3t+4)로 놓고 넓이를 t의 식으로 쓰려 하고 있다면, 그 전에 한 가지만 확인하세요.
A(1, 1), B(3, 3)은 움직이지 않습니다. 그럼 삼각형의 넓이에서 실제로 변하는 값은 무엇인가요?
힌트 2 — 높이가 최소가 되는 위치
넓이 = ½ × AB × (P와 직선 y=x 사이의 거리)입니다. AB는 상수이므로 거리가 최소일 때 넓이도 최소입니다.
곡선 위의 점이 직선에 가장 가까워지는 순간, 그 점에서의 접선은 직선과 어떤 관계인가요? 기울기를 비교해 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(x)=x²+3x+4에서 f′(x)=2x+3. 접선의 기울기가 1이어야 하므로 2t+3=1, t=−1 → P(−1, 2).
이제 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓸 차례입니다. y=x를 x−y=0으로 고쳐 쓰고, AB의 길이도 따로 계산해 두세요.

다 풀고 나서

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정답 3

쎈 미적분1 0433번 해설

서술형 답안, 이 세 줄이 배점입니다

① 기울기가 1인 접선의 접점의 x좌표를 구한다 (40%)
② 점 P와 직선 y=x 사이의 거리의 최솟값을 구한다 (40%)
③ 삼각형 ABP의 넓이의 최솟값을 구한다 (20%)
계산만 맞히고 ①의 근거 문장(“y=x와 평행한 접선의 접점일 때 거리가 최소”)을 빼면 절반이 날아갑니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 넓이를 t의 4차식으로 만들어 놓고 헤맨다
    세 점의 좌표로 넓이를 직접 전개하면 식이 커집니다. 고정된 밑변이 보이면 “높이만 최소로” 구조로 바꾸세요.
  • 거리 공식에 y=x를 그대로 대입한다
    거리 공식은 ax+by+c=0 꼴에서만 작동합니다. y=x는 반드시 x−y=0으로 옮겨 적고 나서 |x₁−y₁|/√2를 쓰세요.
  • 접점을 구하고 거기서 멈춘다
    t=−1은 중간 결과입니다. P(−1, 2)의 y좌표까지 곡선에 대입해 구한 뒤 거리로 넘어가야 합니다.
  • AB의 길이를 눈대중으로 2라고 쓴다
    A(1, 1)에서 B(3, 3)까지는 가로 2, 세로 2입니다. AB=2√2. 이 값이 틀리면 답이 정확히 √2배 어긋납니다.
  • 마지막 약분에서 √2를 남긴다
    ½·2√2·(3/√2)에서 √2끼리 약분되어 정수 3이 나옵니다. 답에 무리수가 남았다면 이 줄을 다시 보세요.


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