쎈미적분1 0432

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식

0432
난이도 중
곡선 위의 점과 직선 사이의 거리
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풀이영상

문항 요지

곡선 y=⅓x³+11/3 (x>0) 위의 점 P와 직선 x−y−10=0 사이의 거리가 최소가 되도록 하는 점 P의 좌표를 (a, b)라 할 때, a+b의 값을 구하는 문제입니다.

문제를 읽자마자

출제의도

묻는 것은 거리가 아니라 접점의 좌표, 그리고 x>0이 진짜 조건

앞 문항과 뼈대는 같습니다. 최단거리 지점은 직선과 평행한 접선의 접점이므로 f′(a)=1에서 출발합니다. 다만 여기서 f′(x)=x²이라 a²=1이 되고, 근이 두 개 나옵니다. 문제에 붙은 x>0이 그중 하나를 걸러내라고 놓아둔 장치입니다. 그리고 마지막에 거리의 최솟값을 구할 필요가 없다는 점 — 좌표만 읽고 더하면 끝납니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 직선의 기울기 읽기
x−y−10=0을 y에 대해 풀면 y=x−10, 기울기는 1입니다.
거리가 최소가 되는 점 P는 이 직선과 평행한 접선의 접점입니다. 그럼 점 P에서의 미분계수는 얼마여야 할까요?
힌트 2 — 두 근 중 하나 고르기
f′(x)=x²이므로 f′(a)=a²=1, 즉 a=1 또는 a=−1입니다.
그런데 곡선에 x>0이라는 단서가 붙어 있습니다. 이 조건이 왜 문제에 들어가 있는지 생각해 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
a=1을 곡선의 식에 대입해 b를 구합니다. 직선의 식이 아닙니다.
b=⅓·1³+11/3을 계산한 뒤, 문제가 요구한 것이 P의 좌표가 아니라 a+b라는 점을 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  a+b = 5

쎈 미적분1 0432번 해설 1
쎈 미적분1 0432번 해설 2

왜 x>0이 필요한가 — a=−1을 버리는 근거

정의역 제한이 없다면 a=−1도 접선의 기울기가 1인 점입니다. 이때 접점은 (−1, 10/3)이고, 직선까지의 거리는 |−1−10/3−10|/√2로 a=1일 때의 |1−4−10|/√2=13/√2보다 큽니다.
즉 a=−1은 최소가 아니라 이 방향에서의 다른 접점일 뿐이고, 문제는 아예 x>0으로 정의역을 잘라 그 논의를 없앤 것입니다. 조건을 읽자마자 “근 두 개 중 하나를 버리라는 뜻”으로 해석하세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • x>0을 읽지 않고 a=±1을 모두 답으로 끌고 간다
    a=−1을 쓰면 b=10/3이 되어 a+b=7/3, 선택지에 없는 값이 나옵니다. 정의역 조건은 장식이 아니라 근을 거르는 도구입니다. 곡선의 식 옆 괄호를 반드시 확인하세요.
  • b를 직선의 식에 대입해서 구한다
    점 P는 직선 위의 점이 아니라 곡선 위의 점입니다. y=x−10에 넣어 b=−9로 계산하면 처음부터 어긋납니다. P는 곡선 위, 직선은 거리를 재는 상대일 뿐입니다.
  • 직선의 기울기를 −1로 본다
    x−y−10=0에서 y의 계수가 −1이라 기울기를 −1로 착각하기 쉽습니다. y=x−10으로 반드시 옮겨 적은 뒤 기울기를 읽으세요. 기울기가 −1이면 x²=−1이 되어 접점 자체가 없습니다.
  • 거리의 최솟값을 구해서 답으로 쓴다
    13/√2 같은 값은 이 문제에서 한 번도 필요하지 않습니다. 앞 문항(0431)과 묻는 대상이 다릅니다. 유형이 같다고 답까지 같은 종류라고 넘겨짚지 마세요.
  • b 계산에서 분수를 통분하지 못한다
    b=1/3+11/3=12/3=4입니다. 1/3을 흘리고 b=11/3로 두면 a+b=14/3이 되어 함정 선택지 ③에 그대로 걸립니다. 오답 선택지는 이 지점을 노리고 배치되어 있습니다.


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