쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0431
대표 문제
곡선 위의 점과 직선 사이의 거리
풀이영상 있음
대표 문제
곡선 위의 점과 직선 사이의 거리
풀이영상 있음
먼저 보고 싶다면
풀이영상
문항 요지
포물선 y=x² 위를 움직이는 점과 직선 y=2x−6 사이의 거리가 가장 작아질 때, 그 최솟값을 구하는 문제입니다.
문제를 읽자마자
출제의도
거리가 최소가 되는 점은 직선과 평행한 접선의 접점이다
곡선 위의 점을 (t, t²)로 놓고 거리 공식을 세운 뒤 최솟값을 구해도 답은 나옵니다. 하지만 이 유형이 존재하는 이유는 그 계산을 하지 말라는 데 있습니다. 직선을 곡선 쪽으로 평행하게 밀어 붙였을 때 곡선에 처음 닿는 자리, 즉 기울기가 같은 접선의 접점이 최단거리 지점입니다. 그러면 f′(t)=(직선의 기울기) 한 줄로 접점이 나오고, 남은 일은 점과 직선 사이의 거리 공식 한 번뿐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그림부터 그리기
직선 y=2x−6은 포물선과 만나지 않습니다. 이 직선을 위로 평행하게 밀어 올린다고 상상해 보세요. 언젠가 포물선에 딱 한 점에서 닿는 순간이 옵니다.
그 접점이 바로 거리가 최소가 되는 점입니다. 그때 접선의 기울기는 얼마일까요?
그 접점이 바로 거리가 최소가 되는 점입니다. 그때 접선의 기울기는 얼마일까요?
힌트 2 — 접점 찾기
평행한 직선은 기울기가 같습니다. 즉 접점 (t, t²)에서 f′(t)=2여야 합니다.
f′(x)=2x이므로 2t=2, t=1. 접점의 좌표를 적어 두세요.
f′(x)=2x이므로 2t=2, t=1. 접점의 좌표를 적어 두세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
이제 점 (1, 1)과 직선 사이의 거리를 구합니다. 공식을 쓰려면 직선을 일반형 2x−y−6=0으로 먼저 고쳐야 합니다.
|2·1−1−6| / √(2²+(−1)²)를 계산하고, 분모의 유리화까지 마무리하세요.
|2·1−1−6| / √(2²+(−1)²)를 계산하고, 분모의 유리화까지 마무리하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ √5
확인용 — 거리 함수로 직접 최소화하기
점 (t, t²)와 직선 2x−y−6=0 사이의 거리는 |2t−t²−6| / √5입니다. 2t−t²−6=−(t−1)²−5는 항상 음수이므로 절댓값을 벗기면 (t²−2t+6)/√5.
분자는 t=1에서 최솟값 5를 가지므로 거리의 최솟값은 5/√5=√5. 접선을 쓴 풀이와 답이 일치하는지 확인하는 용도로만 쓰고, 실전에서는 접선 방법을 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
접점을 구하고 거기서 멈춘다
(1, 1)은 답이 아니라 중간 결과입니다. 문제가 물은 것은 거리의 최솟값. 접점을 구한 순간 문제를 다시 읽는 습관을 들이세요. -
직선을 일반형으로 고치지 않고 거리 공식에 넣는다
거리 공식 |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)는 ax+by+c=0 꼴에만 적용됩니다. y=2x−6 그대로 넣으면 분모가 √5가 아니라 엉뚱한 값이 됩니다. 반드시 2x−y−6=0으로 옮겨 적고 시작하세요. -
b=−1의 부호를 놓친다
2x−y−6=0에서 y의 계수는 +1이 아니라 −1입니다. 분모는 √(2²+(−1)²)=√5. 제곱하므로 결과는 같지만, 분자에서 −y₁의 부호를 함께 틀리는 경우가 많습니다. -
절댓값을 벗길 때 부호를 확인하지 않는다
|2−1−6|=|−5|=5입니다. 절댓값 기호를 그냥 지우면 −5가 되어 거리가 음수로 나옵니다. 거리는 절대 음수일 수 없다는 점을 검산 기준으로 삼으세요. -
5/√5를 그대로 답으로 적는다
선택지는 모두 유리화된 꼴입니다. 5/√5=√5로 정리해야 ③번을 고를 수 있습니다. 객관식은 답의 형태까지 맞춰야 끝입니다.
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