쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0430
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기울기가 주어진 접선
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문항 요지
삼차곡선 y=x³−3x²+5x에 접하면서 기울기가 8인 접선이 두 개 있을 때, 두 접점의 x좌표를 a, b라 하고 |a−b|를 구하는 문제입니다.
문제를 읽자마자
출제의도
접점을 t로 놓고 f′(t)=8을 세우면, 두 접점의 x좌표는 그 이차방정식의 두 근
“기울기가 8인 접선”이라는 조건은 곧 f′(t)=8이라는 t에 대한 방정식입니다. f가 삼차식이므로 f′은 이차식이고, 방정식은 이차방정식이 됩니다. 접선이 두 개라는 말은 이 이차방정식의 근이 두 개라는 뜻이고, 문제가 묻는 a, b가 바로 그 두 근입니다. 접선의 방정식을 실제로 쓸 필요는 전혀 없습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건을 식으로
접선의 기울기는 접점에서의 미분계수입니다. 접점의 x좌표를 t라 두면 “기울기가 8″은 f′(t)=8 한 줄로 번역됩니다.
f′(x)=3x²−6x+5를 먼저 구하고 t를 대입해 보세요.
f′(x)=3x²−6x+5를 먼저 구하고 t를 대입해 보세요.
힌트 2 — 어떤 방정식이 나왔나
3t²−6t+5=8을 정리하면 t²−2t−1=0이 됩니다. 이 방정식의 두 근이 곧 두 접점의 x좌표, 즉 a와 b입니다.
여기서 방향은 두 갈래입니다. 근을 직접 구하거나, 근을 구하지 않고 근과 계수의 관계를 쓰거나.
여기서 방향은 두 갈래입니다. 근을 직접 구하거나, 근을 구하지 않고 근과 계수의 관계를 쓰거나.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
근의 공식으로 t=1±√2를 얻었다면 두 값의 차를 그대로 계산하면 됩니다.
근을 구하지 않겠다면 (a−b)²=(a+b)²−4ab를 쓰세요. a+b=2, ab=−1을 바로 읽을 수 있습니다.
근을 구하지 않겠다면 (a−b)²=(a+b)²−4ab를 쓰세요. a+b=2, ab=−1을 바로 읽을 수 있습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 2√2
더 빠른 길 — 근과 계수의 관계
a, b는 t²−2t−1=0의 두 근이므로 a+b=2, ab=−1입니다.
(a−b)²=(a+b)²−4ab=2²−4·(−1)=8이므로 |a−b|=2√2. 근의 공식을 쓰지 않고 두 줄로 끝납니다. 근이 무리수일수록 이 방법이 계산 실수를 줄여 줍니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
접선의 방정식을 실제로 세운다
이 문제는 접선의 식을 한 번도 쓸 필요가 없습니다. 묻는 것이 접점의 x좌표뿐이므로 f′(t)=8에서 멈추면 됩니다. y좌표 t³−3t²+5t를 계산하기 시작했다면 길을 잘못 든 것입니다. -
f(t)=8로 잘못 세운다
기울기 조건은 함숫값이 아니라 미분계수입니다. f(t)=8이 아니라 f′(t)=8. 문장에서 “기울기”라는 단어를 보면 프라임(′)을 먼저 찍고 시작하세요. -
3t²−6t+5=8을 정리할 때 상수항을 흘린다
5−8=−3이므로 3t²−6t−3=0, 양변을 3으로 나누어 t²−2t−1=0입니다. 3으로 나누는 것을 잊고 근과 계수의 관계에 쓰면 a+b, ab 값이 통째로 달라집니다. -
t=1±√2에서 차를 √2로 적는다
두 근의 차는 (1+√2)−(1−√2)=2√2입니다. ±가 붙은 항은 뺄 때 두 배가 됩니다. 습관적으로 √2라고 쓰는 학생이 매우 많습니다. -
절댓값을 무시하고 부호가 있는 값을 답으로 쓴다
a, b 중 어느 쪽이 큰지는 정해져 있지 않습니다. 그래서 문제도 |a−b|를 물었습니다. 답은 항상 양수여야 합니다.
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