쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식 · 유형 08
0429
난이도 중
서술형
기울기가 주어진 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
앞 문항과 같은 도구인데, 묻는 것은 접선이 아니라 접점이다
f′(t)=2로 t를 구하는 것까지는 0428과 똑같습니다. 다른 점은 여기서 멈춰야 한다는 것. 접선의 방정식을 세우는 순간 이 문제에서는 쓸모없는 계산이 시작됩니다. 게다가 서술형이라 t를 구한 근거 → 접점 좌표 → 중점 세 단계가 각각 점수입니다. 답만 맞아서는 절반도 못 받습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇을 구해야 하는지부터
“두 직선”이라는 말에 끌려 직선의 방정식을 먼저 세우지 마세요. 최종 목표는 접점 A, B의 좌표입니다.
접점을 (t, t³−10t+5)로 두고, f′(x)=3x²−10에서 f′(t)=2라는 식 하나만 세우면 됩니다.
접점을 (t, t³−10t+5)로 두고, f′(x)=3x²−10에서 f′(t)=2라는 식 하나만 세우면 됩니다.
힌트 2 — t 구하고 좌표로
3t²−10=2에서 t²=4이므로 t=−2 또는 t=2입니다.
이제 각각 원래 함수에 대입하세요. f(−2)=−8+20+5, f(2)=8−20+5.
서술형이니 “접선의 기울기가 2이므로 f′(t)=2″라는 근거 문장을 반드시 답안에 적으세요.
이제 각각 원래 함수에 대입하세요. f(−2)=−8+20+5, f(2)=8−20+5.
서술형이니 “접선의 기울기가 2이므로 f′(t)=2″라는 근거 문장을 반드시 답안에 적으세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
A(−2, 17), B(2, −7)까지 나왔다면 남은 건 중점 공식뿐입니다.
((−2+2)/2, (17−7)/2). x좌표가 0이라고 해서 y좌표까지 0이 되는 게 아닙니다. y좌표를 따로 계산하세요.
((−2+2)/2, (17−7)/2). x좌표가 0이라고 해서 y좌표까지 0이 되는 게 아닙니다. y좌표를 따로 계산하세요.
다 풀고 나서
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서술형 채점 기준 — 어디서 점수가 갈리나
| 채점 요소 | 비율 |
|---|---|
| ❶ 접점의 x좌표를 구할 수 있다 | 50% |
| ❷ 두 점 A, B의 좌표를 구할 수 있다 | 20% |
| ❸ 선분 AB의 중점의 좌표를 구할 수 있다 | 30% |
왜 이렇게 깔끔하게 떨어지나 — 변곡점 대칭
f″(x)=6x이므로 변곡점은 (0, 5)이고, 3차함수의 그래프는 변곡점에 대해 점대칭입니다.
대칭인 두 점에서의 접선은 기울기가 서로 같으므로, 기울기가 같은 두 접점은 항상 변곡점에 대해 대칭입니다. 그래서 두 접점의 중점은 계산하지 않아도 변곡점 (0, 5).
검산용으로만 쓰세요. 서술형 답안에는 채점 기준대로 t부터 차례로 적어야 점수가 붙습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
접선의 방정식까지 구한다
문제가 물은 것은 접점의 중점입니다. 직선을 세우는 순간 필요 없는 계산에 시간을 쓰고, 그 과정에서 부호 실수가 끼어듭니다. “무엇을 구하라고 했나”를 다시 읽으세요. -
근거 없이 t=±2만 적는다
배점의 50%가 ❶ “접점의 x좌표를 구할 수 있다”입니다. 접점을 (t, f(t))로 놓았다는 문장과 f′(t)=2라는 식이 답안에 없으면 결과가 맞아도 감점됩니다. -
f(−2) 계산에서 부호를 놓친다
f(−2)=(−2)³−10(−2)+5 = −8+20+5 = 17. −10x에 음수를 넣으면 부호가 뒤집힙니다. 여기서 틀리면 중점의 y좌표가 통째로 달라집니다. -
중점의 x좌표가 0이니 (0, 0)이라고 쓴다
x좌표와 y좌표는 따로 계산합니다. (17+(−7))/2 = 5. 좌표 답은 반드시 두 성분을 각각 써 보고 괄호에 넣으세요. -
선분 AB의 중점을 두 접선의 교점으로 착각한다
두 접선은 기울기가 2로 같아 평행이므로 애초에 만나지 않습니다. A, B는 곡선 위의 접점이라는 점을 그림으로 확인하고 시작하세요.