쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식 · 유형 08
0428
대표문제
기울기가 주어진 접선
평행한 두 직선 사이의 거리
풀이영상 있음
대표문제
기울기가 주어진 접선
평행한 두 직선 사이의 거리
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문제를 읽자마자
출제의도
기울기가 주어졌으면 f′(t)=m으로 접점부터 잡고, 뒤는 도형 문제로 넘긴다
이 유형의 출발은 언제나 하나입니다. 접점을 (t, f(t))로 두고 f′(t)=3을 푸는 것. t가 두 개 나오면 접선도 두 개이고, 기울기가 같으니 두 직선은 평행합니다. 여기서부터는 미분이 아니라 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰는 도형 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 시작점 잡기
직선을 y=3x+k로 놓고 연립하는 것도 되지만 계산이 깁니다. 접점의 좌표를 (t, t³−3t²−6t+1)로 두세요.
f′(x)=3x²−6x−6이고, 접선의 기울기가 3이라는 조건은 곧 f′(t)=3이라는 한 줄입니다.
f′(x)=3x²−6x−6이고, 접선의 기울기가 3이라는 조건은 곧 f′(t)=3이라는 한 줄입니다.
힌트 2 — 접점 두 개
3t²−6t−6=3에서 t²−2t−3=0, 즉 (t+1)(t−3)=0이므로 t=−1 또는 t=3입니다.
접점의 y좌표를 계산하면 (−1, 3)과 (3, −17). 이제 기울기 3짜리 접선 두 개를 각각 써 보세요.
부호를 헷갈리기 쉬우니 f(−1)=−1−3+6+1을 천천히.
접점의 y좌표를 계산하면 (−1, 3)과 (3, −17). 이제 기울기 3짜리 접선 두 개를 각각 써 보세요.
부호를 헷갈리기 쉬우니 f(−1)=−1−3+6+1을 천천히.
힌트 3 — 거리로 넘어가기
두 접선은 3x−y+6=0과 3x−y−26=0으로, 기울기가 같으니 평행합니다.
평행한 두 직선 사이의 거리는 한 직선 위의 아무 점 하나를 잡아 다른 직선까지의 거리를 재면 됩니다. 3x−y+6=0 위의 점 (0, 6)이 가장 편합니다.
마지막에 32/√10을 그대로 두지 말고 유리화하세요. 선지에 √5짜리가 섞여 있습니다.
평행한 두 직선 사이의 거리는 한 직선 위의 아무 점 하나를 잡아 다른 직선까지의 거리를 재면 됩니다. 3x−y+6=0 위의 점 (0, 6)이 가장 편합니다.
마지막에 32/√10을 그대로 두지 말고 유리화하세요. 선지에 √5짜리가 섞여 있습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ 16√10 / 5
풀이영상
더 빠른 길 — 평행선 사이의 거리 공식
두 직선을 같은 계수 꼴 ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0으로 맞춰 두면 사이의 거리는 |c₁−c₂| / √(a²+b²)입니다.
3x−y+6=0, 3x−y−26=0이므로 거리는 |6−(−26)| / √(3²+(−1)²) = 32/√10 = 16√10/5.
점을 잡는 단계가 통째로 사라집니다. 단, x, y의 계수를 반드시 통일한 뒤에 써야 합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
유리화를 하지 않고 선지를 고른다
32/√10 = 32√10/10 = 16√10/5. 선지에는 √5 꼴도 섞여 있어서, 유리화를 대충 하면 ②나 ④로 손이 갑니다. 분모의 √10을 끝까지 정리하세요. -
접점의 y좌표에서 부호를 놓친다
f(−1)=(−1)³−3(−1)²−6(−1)+1에서 −6·(−1)=+6입니다. 여기서 한 번 틀리면 접선의 상수항이 통째로 달라져 거리도 무너집니다. -
두 접선 사이의 거리 대신 두 접점 사이의 거리를 구한다
문제가 물은 것은 직선과 직선 사이의 거리입니다. (−1, 3)과 (3, −17)의 거리를 구하면 전혀 다른 값이 나옵니다. 무엇과 무엇 사이인지 밑줄을 긋고 시작하세요. -
기울기가 3이라고 접선을 y=3x라 쓴다
기울기만 같고 y절편은 다릅니다. 반드시 접점을 지나게 y−f(t)=3(x−t)로 세운 뒤 정리하세요. -
점과 직선 사이의 거리에서 계수를 통일하지 않는다
y=3x+6을 그대로 쓰지 말고 3x−y+6=0 꼴로 옮긴 뒤 a=3, b=−1을 대입해야 합니다. √(a²+b²)에서 b=−1을 빠뜨리면 분모가 3이 되어버립니다.