쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 접선의 방정식
0408
난이도 상
서술형
곱의 미분법 · 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
그래프에서 f(1)과 f′(1) 두 개만 읽어내면 끝나는 문제
f(x)의 식은 주어지지 않았고, 찾을 필요도 없습니다. “x=−1, x=1, x=3에서 접선의 기울기가 0″이라는 말은 f′(−1)=f′(1)=f′(3)=0이라는 뜻인데, 실제로 쓰이는 건 f′(1)=0 하나뿐입니다. 나머지 둘은 시선을 분산시키려고 넣은 조건입니다. 그래프에서 f(1)=2를 읽고 곱의 미분법 한 번이면 기울기가 나옵니다. 서술형이므로 g(1) → 기울기 → 직선의 방정식, 세 단계를 각각 문장으로 남기는 것까지가 점수입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
f(x)가 몇 차식인지, 식이 무엇인지 추측하고 있다면 멈추세요. 그래프는 수 두 개를 읽으라고 준 것입니다.
접점은 y=g(x) 위의 x=1인 점입니다. 그 점의 y좌표부터 구하세요. g(1)=−1·f(1)이고, f(1)의 값은 그래프에 표시되어 있습니다.
접점은 y=g(x) 위의 x=1인 점입니다. 그 점의 y좌표부터 구하세요. g(1)=−1·f(1)이고, f(1)의 값은 그래프에 표시되어 있습니다.
힌트 2 — 곱의 미분법
g(x)=−xf(x)는 (−x)와 f(x)의 곱입니다. 미분하면 g′(x)=−f(x)−xf′(x).
여기에 x=1을 넣으면 g′(1)=−f(1)−f′(1). 두 값 모두 그래프에서 읽은 것으로 채워집니다.
여기에 x=1을 넣으면 g′(1)=−f(1)−f′(1). 두 값 모두 그래프에서 읽은 것으로 채워집니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
접점 (1, −2)와 기울기 −2를 얻었다면 y−(−2)=−2(x−1)에 그대로 대입하면 됩니다.
정리한 뒤, 구한 직선에 x=1을 넣어 y=−2가 나오는지 한 번 검산하세요.
정리한 뒤, 구한 직선에 x=1을 넣어 y=−2가 나오는지 한 번 검산하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 y = −2x
답을 적기 전 30초 검산 — 원점을 지나는가
구한 직선 y=−2x는 상수항이 0, 즉 원점을 지납니다. 실제로 접점 (1, −2)와 기울기 −2를 쓰면 y절편은 −2−(−2×1)=0.
접점의 좌표를 직선에 다시 대입해 성립하는지만 확인해도, 이 문제에서 가장 흔한 부호 실수는 전부 걸러집니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
접점을 (1, 2)로 잡는다
(1, 2)는 y=f(x) 위의 점입니다. 이 문제의 접선은 y=g(x)에 긋는 것이므로 접점은 (1, g(1))=(1, −2). 어느 함수의 그래프 위인지부터 확인하세요. -
곱의 미분법에서 앞의 부호를 흘린다
g(x)=−xf(x)를 미분하면 g′(x)=−f(x)−xf′(x)입니다. −f(x)+xf′(x)로 적으면 기울기가 통째로 달라집니다. (−x)′=−1을 눈으로 확인하고 쓰세요. -
f′(−1)=0, f′(3)=0을 어떻게든 쓰려 한다
x=1에서의 접선만 묻고 있으므로 필요한 것은 f′(1)=0 하나입니다. 남는 조건이 있다고 불안해하지 마세요. -
f(x)의 식을 세우려고 시간을 쓴다
3중근·4차식 등으로 f(x)를 복원할 수는 있지만 이 문제에는 불필요합니다. 그래프에서 읽을 수 있는 값만으로 답이 나오는 구조인지 먼저 판단하세요. -
서술형인데 g(1) 계산을 문장으로 남기지 않는다
채점 기준은 g(1) 20%, 기울기 40%, 직선의 방정식 40%로 나뉩니다. 암산으로 넘어간 단계는 점수가 없습니다. 세 줄을 각각 적으세요.
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