쎈수학 미적분Ⅰ · 04 여러 가지 미분법
0407
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접선의 y절편과 극한
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문제를 읽자마자
출제의도
접선 문제와 극한 문제를 g(t)로 이어 붙인 문제
t를 상수로 보고 접선을 세우면 y절편이 t의 식으로 나옵니다. 여기까지가 앞 절반, g(t)=−2t³을 얻는 순간부터는 그냥 다항식 극한입니다. 두 단원이 붙어 있어 어려워 보일 뿐, 각각은 기본 문제입니다. 핵심은 접선을 y=(기울기)x+(상수) 꼴로 끝까지 정리해서 상수항을 읽어내는 것.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — t를 상수로 보기
“임의의 점 (t, t³+2t)”는 접점이 주어졌다는 뜻입니다. t는 문자일 뿐 상수처럼 다루면 됩니다.
f′(x)=3x²+2이므로 이 점에서의 기울기는 f′(t)=3t²+2. 평소처럼 접선을 세우세요.
f′(x)=3x²+2이므로 이 점에서의 기울기는 f′(t)=3t²+2. 평소처럼 접선을 세우세요.
힌트 2 — y절편은 상수항
y−(t³+2t)=(3t²+2)(x−t)를 그대로 두면 절편이 안 보입니다. y=…x+… 꼴로 정리하세요.
우변을 풀면 −3t³−2t가 나오고 좌변의 t³+2t가 넘어와 상수항은 −3t³−2t+t³+2t.
정리된 상수항이 곧 g(t)입니다.
우변을 풀면 −3t³−2t가 나오고 좌변의 t³+2t가 넘어와 상수항은 −3t³−2t+t³+2t.
정리된 상수항이 곧 g(t)입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
g(t)=−2t³이므로 g(t+1)−g(t)=−2(t+1)³+2t³.
(t+1)³=t³+3t²+3t+1을 전개하면 t³이 서로 소거되어 −6t²−6t−2만 남습니다.
이제 t²으로 나눈 극한이니 최고차항 계수만 보면 됩니다. 부호에 주의하세요.
(t+1)³=t³+3t²+3t+1을 전개하면 t³이 서로 소거되어 −6t²−6t−2만 남습니다.
이제 t²으로 나눈 극한이니 최고차항 계수만 보면 됩니다. 부호에 주의하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② −6
더 빠른 길 — 전개하지 않고 최고차만 보기
g(t)=−2t³은 3차식이므로 g(t+1)−g(t)는 항상 2차식이고, 그 t² 계수는 −2×3=−6입니다.
일반적으로 최고차항이 atn이면 g(t+1)−g(t)의 최고차항은 an·tn−1. 분모가 t²이니 답은 그 계수 그대로 −6입니다. 전개를 다 하지 않아도 30초면 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
y절편과 x절편을 바꿔 읽는다
y절편은 x=0을 넣은 값, 즉 정리된 식의 상수항입니다. x절편(y=0)으로 잘못 잡으면 g(t)가 분수식이 되어 전혀 다른 문제가 됩니다. -
접선을 정리하지 않고 절편을 읽으려 한다
y−(t³+2t)=(3t²+2)(x−t) 상태에서는 상수항이 보이지 않습니다. −3t³−2t와 t³+2t를 합쳐 −2t³까지 반드시 정리하세요. -
−2(t+1)³을 −2t³+1처럼 전개한다
(t+1)³=t³+3t²+3t+1을 다 쓰고, 그다음에 −2를 곱하세요. 이 한 줄을 건너뛰면 t³이 살아남아 발산으로 오판하게 됩니다. -
t³이 남았다고 보고 극한이 없다고 답한다
−2(t+1)³+2t³에서 t³은 정확히 소거됩니다. 분자가 2차식이 되어야 정상이니, 3차항이 남았다면 전개를 다시 확인하세요. -
부호를 놓쳐 ④ 6을 고른다
선택지에 −6과 6이 나란히 있는 것은 부호 실수를 노린 배치입니다. g(t)=−2t³의 마이너스를 끝까지 달고 가세요.
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