쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 04 접선과 수직인 직선의 방정식
0409
대표문제
두 곡선의 수직 접선
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두 곡선의 수직 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
조건 두 개를 식 두 개로 옮기면 그다음은 연립일 뿐인 문제
미지수가 a, b 두 개이니 식도 두 개가 필요합니다. 첫 번째는 “점 (1, 1)에서 만난다”, 두 번째는 “그 점에서 두 접선이 수직이다”. 여기서 걸리는 지점이 하나 있습니다. y=x³은 이미 (1, 1)을 지나므로 첫 조건이 주는 새 정보는 y=2ax²−bx 쪽 하나뿐이라는 것. 이 구조를 알아채면 대표문제답게 기계적으로 끝납니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
구할 것은 a, b 두 개입니다. 그러니 식도 정확히 두 개를 만들어야 합니다.
“만난다”에서 하나, “수직이다”에서 하나. 먼저 “만난다”를 식으로 옮겨 보세요. 이때 두 곡선 중 어느 쪽이 새 정보를 주는지 확인하는 것이 핵심입니다.
“만난다”에서 하나, “수직이다”에서 하나. 먼저 “만난다”를 식으로 옮겨 보세요. 이때 두 곡선 중 어느 쪽이 새 정보를 주는지 확인하는 것이 핵심입니다.
힌트 2 — 두 개의 식
y=2ax²−bx가 (1, 1)을 지나므로 2a−b=1.
두 접선이 수직이면 기울기의 곱이 −1입니다. f(x)=x³, g(x)=2ax²−bx로 두면 f′(x)=3x², g′(x)=4ax−b이므로 f′(1)g′(1)=−1. f′(1)=3이라는 것을 빠뜨리지 마세요.
두 접선이 수직이면 기울기의 곱이 −1입니다. f(x)=x³, g(x)=2ax²−bx로 두면 f′(x)=3x², g′(x)=4ax−b이므로 f′(1)g′(1)=−1. f′(1)=3이라는 것을 빠뜨리지 마세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
3(4a−b)=−1에서 4a−b=−1/3. 이 식에서 2a−b=1을 빼면 b가 사라지고 2a만 남습니다.
a를 구한 뒤 b를 되찾고, 마지막에 문제가 물은 것이 a도 b도 아닌 a+b임을 다시 확인하세요.
a를 구한 뒤 b를 되찾고, 마지막에 문제가 물은 것이 a도 b도 아닌 a+b임을 다시 확인하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 a + b = −3
더 빠른 길 — 대입하지 말고 빼기
4a−b=−1/3과 2a−b=1을 세로로 놓고 그대로 빼면 2a=−1/3−1=−4/3, 즉 a=−2/3이 한 줄에 나옵니다.
b=2a−1=−4/3−1=−7/3. 두 식 모두 −b로 항이 맞춰져 있으므로 대입보다 빼기가 부호 실수를 줄입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
y=x³이 (1, 1)을 지난다는 것으로 식을 하나 더 만든다
1³=1은 항상 참인 항등식이라 a, b에 대한 정보가 전혀 없습니다. 조건에서 식을 뽑을 때는 “미지수가 들어 있는가”를 먼저 보세요. -
수직 조건을 기울기의 곱 = 1로 쓴다
수직이면 −1, 평행이면 같음입니다. 여기서 부호를 놓치면 a=2/3, b=1/3처럼 겉보기에 그럴듯한 값이 나와 검산으로도 잘 걸리지 않습니다. -
f′(1)=3을 빼먹고 4a−b=−1로 계산한다
f′(x)=3x²이므로 f′(1)=3입니다. 3(4a−b)=−1에서 3을 넘겨 4a−b=−1/3. 이 3을 흘리면 a, b가 통째로 달라집니다. -
g′(x)를 4ax−b가 아닌 4ax−bx 등으로 쓴다
g(x)=2ax²−bx에서 −bx의 미분은 −b입니다. 상수항으로 떨어진다는 점을 확인하고 넘어가세요. -
a, b까지 구하고 멈춘다
문제가 요구한 것은 a+b입니다. a=−2/3, b=−7/3을 따로 적은 뒤 더해 −9/3=−3으로 마무리하세요.
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