쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용 · 유형 01 접선의 기울기
0396
난이도 중
서술형
미분계수의 정의
풀이영상 있음
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서술형
미분계수의 정의
풀이영상 있음
다항함수 f(x)에 대하여 곡선 y=f(x)와 직선 y=4x−1이 점 (2, 7)에서 접할 때,
limh→0 { f(2+h) − f(2−h) } / h 의 값을 구하시오.
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문제를 읽자마자
출제의도
접점의 정보를 f′(2)=4 하나로 줄이고, 대칭형 극한을 미분계수 정의 둘로 쪼개는 문제
“점 (2, 7)에서 접한다”에서 나오는 정보는 f(2)=7과 f′(2)=4 두 개인데, 이 문제가 쓰는 것은 f′(2)=4뿐입니다. 분자에 f(2)가 아예 없으므로, 정의 꼴을 만들려면 f(2)를 스스로 빼고 더해 넣어야 합니다. 서술형이므로 이 두 단계가 그대로 채점 항목이 됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 접한다에서 뽑아낼 것
“접한다”는 두 가지를 동시에 말합니다. 지나간다(f(2)=7)와 기울기가 같다(f′(2)=4).
구할 극한식에 f값이 들어 있나요, 변화율이 들어 있나요? 둘 중 어느 정보가 쓰일지 먼저 정하세요.
구할 극한식에 f값이 들어 있나요, 변화율이 들어 있나요? 둘 중 어느 정보가 쓰일지 먼저 정하세요.
힌트 2 — 정의 꼴 만들기
미분계수의 정의는 { f(2+h)−f(2) } / h입니다. 그런데 분자에 f(2)가 없습니다.
없으면 만들어 넣으세요. f(2+h)−f(2−h) = { f(2+h)−f(2) } − { f(2−h)−f(2) }로 쪼갭니다.
없으면 만들어 넣으세요. f(2+h)−f(2−h) = { f(2+h)−f(2) } − { f(2−h)−f(2) }로 쪼갭니다.
힌트 3 — 부호 맞추기
두 번째 덩어리는 분모가 h인 채로는 정의가 아닙니다. h 자리에 들어간 것이 −h이므로 분모도 −h로 맞춰야 f′(2)가 됩니다.
앞의 −와 분모의 −가 만나 +가 되고, 결과는 2f′(2). 여기서 멈추지 말고 값까지 계산하세요.
앞의 −와 분모의 −가 만나 +가 되고, 결과는 2f′(2). 여기서 멈추지 말고 값까지 계산하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 8 ( = 2f′(2) )
풀이영상
더 빠른 길 — 대칭차분 공식
limh→0 { f(a+ph) − f(a+qh) } / h = (p−q)·f′(a). 이 문항은 p=1, q=−1이므로 곧바로 2f′(2)=2×4=8.
다만 서술형에서는 공식만 적으면 근거가 없다고 볼 수 있으니, f(2)를 빼고 더해 쪼개는 과정을 한 번은 써 두는 편이 안전합니다.
채점 기준
❶ f′(2)의 값을 구할 수 있다 — 40%
❷ 주어진 식의 값을 구할 수 있다 — 60%
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(2)=7을 어떻게든 대입하려 한다
이 문제에서 7은 쓰이지 않습니다. 쪼개는 과정에서 f(2)는 더하고 빼며 상쇄되므로, 값이 무엇인지는 상관이 없습니다. -
두 번째 항의 분모를 −h로 맞추지 않는다
분모를 h인 채 두면 −f′(2)가 되어 답이 0이 됩니다. 답이 0으로 나왔다면 거의 이 자리입니다. -
서술형인데 f′(2)=4의 근거를 안 쓴다
“접한다 ⟹ 그 점에서의 접선의 기울기가 4 ⟹ f′(2)=4” 한 줄이 채점기준 ❶(40%)입니다. 암산으로 넘기면 그대로 감점입니다. -
2f′(2)를 f′(2)로 착각해 4로 답한다
대칭형이라 미분계수가 두 번 나옵니다. 마지막에 2배가 붙었는지 식을 되짚어 확인하세요. -
f(2+h)−f(2−h)를 그냥 소거해 0으로 본다
h→0이면 분자도 0으로 가지만 분모도 0입니다. 0/0 꼴은 정의 꼴로 바꾸기 전까지 값을 판단할 수 없습니다.