쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0397
난이도 중
유형 01 접선의 기울기
난이도 중
유형 01 접선의 기울기
문제를 읽자마자
출제의도
미지수가 3개면 조건도 3개다 — 조건을 f와 f′로 번역하는 문제
구할 것은 a, b, c 세 개입니다. 그런데 문장에서 눈에 띄는 조건은 “기울기 13”, “기울기 16” 두 개뿐이죠. 나머지 하나는 “곡선 위의 점 (−1, −7)”이라는 말 속에 숨어 있습니다. 이 한 줄을 f(−1)=−7로 읽어내느냐가 이 문제의 전부입니다. 접선의 기울기는 전부 f′에, 점이 곡선 위에 있다는 사실은 f에 넣는다 — 그 구분만 지키면 단순 연립방정식입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건 개수부터 세기
미지수는 a, b, c 세 개입니다. 그러면 식도 세 개가 필요합니다.
기울기 조건 두 개는 금방 보일 겁니다. 세 번째 식은 어디에 숨어 있을까요? “곡선 위의 점 (−1, −7)”이라는 표현을 다시 읽어 보세요.
기울기 조건 두 개는 금방 보일 겁니다. 세 번째 식은 어디에 숨어 있을까요? “곡선 위의 점 (−1, −7)”이라는 표현을 다시 읽어 보세요.
힌트 2 — 세 식을 정확히 쓰기
f(x)=−x³+2ax²+bx+c라 하면 f′(x)=−3x²+4ax+b입니다. 2ax²의 미분은 2ax가 아니라 4ax예요.
① f(−1)=−7 ② f′(−1)=13 ③ f′(−2)=16
이 중 ②③에는 c가 들어 있지 않습니다. 그러니 a, b를 먼저 잡고 c는 나중에 구하세요.
① f(−1)=−7 ② f′(−1)=13 ③ f′(−2)=16
이 중 ②③에는 c가 들어 있지 않습니다. 그러니 a, b를 먼저 잡고 c는 나중에 구하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
②는 4a−b=−16, ③은 8a−b=−28. 두 식을 빼면 b가 사라져 a가 바로 나옵니다.
a, b를 구했으면 ①에 넣어 c를 구하고, 마지막에 문제가 물은 것이 a−b+c가 아니라 a−2b+c라는 걸 다시 확인하세요.
a, b를 구했으면 ①에 넣어 c를 구하고, 마지막에 문제가 물은 것이 a−b+c가 아니라 a−2b+c라는 걸 다시 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 −9 (a=−3, b=4, c=2)
더 빠른 길 — 기울기 조건 두 개를 먼저 빼기
f′(−1)=13, f′(−2)=16을 각각 정리하지 말고 바로 빼 보세요.
f′(−1)−f′(−2) = (−3+12) + (−4a+8a) = 9+4a 이고, 값으로는 13−16=−3입니다.
따라서 9+4a=−3에서 a=−3이 한 줄에 나옵니다. b는 f′(−1)=13에 되돌려 넣어 b=4, c는 f(−1)=−7에서 c=2. 연립 정리 과정을 통째로 건너뛸 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
2ax²을 미분해서 2ax로 쓴다
계수 2와 지수 2가 곱해져 4ax입니다. 문자 계수가 붙으면 유독 자주 틀리는 자리이니, a를 숫자라고 생각하고 미분하세요. -
점 (−1, −7)이 곡선 위에 있다는 조건을 안 쓴다
기울기 조건 두 개만으로는 c가 영원히 안 나옵니다. f′에는 c가 없기 때문입니다. c가 안 구해진다면 아직 안 쓴 조건이 남아 있다는 신호입니다. -
f(−1) 계산에서 −(−1)³의 부호를 놓친다
−(−1)³ = +1입니다. 여기서 부호가 틀리면 c만 어긋나 최종 답이 4 차이로 빗나갑니다. -
x=−2인 점의 y좌표를 굳이 구하려 든다
그 점은 좌표가 주어지지 않았고 필요하지도 않습니다. “기울기가 16″은 f′(−2)=16 한 줄로 끝나는 조건입니다. -
a−2b+c에서 2를 빠뜨린다
a−b+c로 읽으면 −5가 나옵니다. 값을 대입하기 전에 문제가 요구한 식을 그대로 한 번 옮겨 적고 시작하세요.