쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용 · 유형 01 접선의 기울기
0395
난이도 하
x축과 평행한 접선
풀이영상 있음
난이도 하
x축과 평행한 접선
풀이영상 있음
곡선 y=x4−8x2+11 위의 점 P에서의 접선이 x축과 평행할 때, 모든 점 P의 x좌표의 합은?
- ① −4
- ② −2
- ③ 0
- ④ 2
- ⑤ 4
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풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
“x축과 평행”을 기울기 0 한 줄로 번역하는 문제
기하적인 표현을 미분 조건으로 바꿔 쓰는 연습입니다. x축과 평행 ⟹ f′(a)=0. 그 뒤로는 4차식의 도함수를 인수분해해서 근을 모두 찾는 계산뿐이고, 출제자가 노리는 지점은 근 하나를 흘리는 자리입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 말을 식으로 바꾸기
x축과 평행한 직선의 기울기는 얼마인가요?
그 값과 같아져야 하는 것은 y값이 아니라 접선의 기울기, 즉 f′입니다. 점 P의 x좌표를 a로 두고 조건을 한 줄로 적어 보세요.
그 값과 같아져야 하는 것은 y값이 아니라 접선의 기울기, 즉 f′입니다. 점 P의 x좌표를 a로 두고 조건을 한 줄로 적어 보세요.
힌트 2 — 인수분해
f′(x)=4x3−16x이므로 f′(a)=4a3−16a=0.
4a(a+2)(a−2)=0으로 묶으세요. 여기서 양변을 a로 나누면 안 됩니다. a=0도 어엿한 답입니다.
4a(a+2)(a−2)=0으로 묶으세요. 여기서 양변을 a로 나누면 안 됩니다. a=0도 어엿한 답입니다.
힌트 3 — 무엇을 더하는가
근이 세 개 나왔나요? 문제는 “모든 점 P”라고 했으므로 셋을 전부 씁니다.
더할 것은 y좌표가 아니라 x좌표입니다. 곡선 식에 다시 대입할 필요가 없습니다.
더할 것은 y좌표가 아니라 x좌표입니다. 곡선 식에 다시 대입할 필요가 없습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ (−2)+0+2 = 0
풀이영상
더 빠른 길 — 근과 계수의 관계
구하는 것이 근의 “합”뿐이라면 인수분해까지 갈 필요가 없습니다. 4a3−16a=0, 즉 a3+0·a2−4a=0에서 세 근의 합은 −(a2의 계수)=0.
단, 이 방법은 세 근이 모두 실수일 때만 그대로 답이 됩니다. a(a2−4)=0이라 실근 셋임이 바로 보이므로 여기서는 안전합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
양변을 a로 나눠 a=0을 잃는다
4a3−16a=0에서 a로 나누는 순간 근 하나가 사라져 합이 0이 아닌 값으로 바뀝니다. 이차 이상 방정식은 나누지 말고 묶으세요. -
f′(a)=0 대신 f(a)=0으로 푼다
x축과 “평행”이지 x축과 “만난다”가 아닙니다. 평행은 기울기 조건, 만남은 y=0 조건입니다. -
x좌표 대신 y좌표를 더한다
세 x좌표를 곡선에 대입해 y를 구하느라 시간을 쓰지 마세요. 문제는 x좌표의 합만 물었습니다. -
도함수 계산에서 −8x2를 −8x로 미분한다
f′(x)=4x3−16x입니다. 계수 16이 8로 남으면 근이 ±√2로 바뀌어 선택지에 없는 값이 나옵니다. -
근이 몇 개인지 세지 않고 넘어간다
“모든 점 P”라는 말은 근을 빠짐없이 찾으라는 지시입니다. 인수분해한 뒤 괄호 개수만큼 근을 적어 두고 세어 보세요.