쎈미적분1 0394 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용 · 유형 01 접선의 기울기

0394
대표 문제
접선의 기울기
풀이영상 있음

곡선 y=x³−ax²+bx−1 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기가 2일 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?

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풀이영상

문제를 읽자마자

미지수가 두 개면 조건도 두 개를 찾아내라는 문제

“점 (1, 2)에서의 접선의 기울기가 2”라는 한 문장 안에 조건이 두 개 들어 있습니다. (1, 2)가 곡선 위의 점이라는 것과, 그 점에서의 미분계수가 2라는 것. 접선 단원의 출발점이 늘 이 구조라서 대표문제로 배치된 문항입니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기

구해야 할 것은 a, b 두 개입니다. 그러면 식도 두 개가 필요합니다.
문제 문장을 “곡선 위의 점 (1, 2)” / “접선의 기울기가 2” 두 조각으로 잘라 보세요. 조각 하나가 식 하나입니다.

힌트 2 — 첫 번째 식

점 (1, 2)가 곡선 위에 있다는 말은 x=1을 넣었을 때 y=2가 된다는 뜻, 즉 f(1)=2입니다.
1−a+b−1=2에서 −a+b=2. 상수항 −1을 빠뜨리지 마세요.

힌트 3 — 두 번째 식과 마무리

접선의 기울기는 미분계수입니다. f′(x)=3x²−2ax+b이므로 f′(1)=2에서 3−2a+b=2, 즉 −2a+b=−1.
두 식을 연립해 a, b를 구한 뒤, 문제가 물은 것이 a도 b도 아닌 a+b라는 걸 다시 확인하세요.

다 풀고 나서

정답·해설 펼치기

정답 ③ a+b = 8

쎈 미적분1 0394번 해설 1
쎈 미적분1 0394번 해설 2

풀이영상

계산을 줄이는 길 — 두 식을 빼기

−a+b=2와 −2a+b=−1을 변끼리 빼면 a=3이 한 줄에 나옵니다. 이어서 b=5.
검산도 두 줄이면 됩니다. f(x)=x³−3x²+5x−1에서 f(1)=1−3+5−1=2, f′(1)=3−6+5=2. 두 조건 모두 맞으므로 a+b=8.

덮기 직전에

조건을 하나만 쓰고 식 하나로 풀려 한다
미지수가 둘이면 식이 둘입니다. f(1)=2를 빼먹고 f′(1)=2만 쓰면 a, b가 절대 확정되지 않습니다.
f(1)=2와 f′(1)=2를 헷갈린다
y좌표는 f, 기울기는 f′입니다. 문제에 2가 두 번 나오는 것은 우연이니, 어느 2가 어디로 가는지 표시하고 시작하세요.
−ax²의 미분에서 부호를 놓친다
f′(x)=3x²−2ax+b입니다. −2a를 +2a로 적으면 두 번째 식이 통째로 달라집니다.
f(1) 계산에서 상수항 −1을 흘린다
1−a+b−1이라 1과 −1이 상쇄됩니다. 이 과정을 눈으로만 하면 −a+b=3처럼 어긋납니다.
a=3, b=5까지 구하고 멈춘다
답지의 선택지는 a+b입니다. a나 b 값이 선택지에 그대로 들어 있는 경우가 많으니 마지막에 무엇을 물었는지 다시 읽으세요.