쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 18
0336
난이도 중
서술형
접선의 기울기를 이용한 미정계수의 결정
풀이영상 있음
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서술형
접선의 기울기를 이용한 미정계수의 결정
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곡선 y=ax²+bx+10 위의 점 (2, 0)에서의 접선의 기울기가 1일 때, 상수 a, b에 대하여 a−b의 값을 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
미지수 두 개니까 식도 두 개. 조건 하나에 식 하나씩
0335번과 뼈대는 같지만 미지수가 a, b 두 개로 늘었습니다. 곡선이 점 (2, 0)을 지난다는 조건에서 한 식, 그 점에서의 접선의 기울기가 1이라는 조건에서 또 한 식. 연립해서 두 값을 동시에 잡는 것이 전부입니다. 서술형이므로 두 관계식을 어디서 얻었는지 근거를 문장으로 남기는 것까지가 답안입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 첫 번째 식
f(x)=ax²+bx+10으로 이름을 붙이고 시작하세요. 곡선이 점 (2, 0)을 지난다는 말부터 식으로 바꿉니다.
f(2)=0 ⟹ 4a+2b+10=0. 정리하면 2a+b=−5입니다.
f(2)=0 ⟹ 4a+2b+10=0. 정리하면 2a+b=−5입니다.
힌트 2 — 두 번째 식
아직 미지수가 두 개인데 식은 하나뿐입니다. 남은 조건은 “기울기가 1″입니다.
f′(x)=2ax+b이고, f′(2)=1 ⟹ 4a+b=1. 이제 식 두 개가 모였습니다.
f′(x)=2ax+b이고, f′(2)=1 ⟹ 4a+b=1. 이제 식 두 개가 모였습니다.
힌트 3 — 연립과 마무리
2a+b=−5와 4a+b=1을 변끼리 빼면 b가 한 번에 사라집니다. 2a=6이므로 a=3.
a를 되돌려 넣어 b를 구하면 b는 음수입니다. 마지막에 물은 것은 a−b이니, 음수를 빼는 부호에 특히 주의하세요.
a를 되돌려 넣어 b를 구하면 b는 음수입니다. 마지막에 물은 것은 a−b이니, 음수를 빼는 부호에 특히 주의하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 14 (a=3, b=−11)
풀이영상
서술형 채점 기준 — 배점이 어디에 붙어 있는가
| 곡선이 점 (2, 0)을 지남을 이용하여 a, b에 대한 관계식을 구할 수 있다 | 40% |
| 점 (2, 0)에서의 접선의 기울기를 이용하여 a, b에 대한 관계식을 구할 수 있다 | 40% |
| a−b의 값을 구할 수 있다 | 20% |
답안에 반드시 남길 문장
배점의 80%가 “관계식 두 개”에 걸려 있습니다. 계산만 맞히고 근거를 생략하면 답이 14여도 점수는 절반입니다. “곡선이 점 (2, 0)을 지나므로 f(2)=0”, “점 (2, 0)에서의 접선의 기울기가 1이므로 f′(2)=1” 이 두 문장을 각 식 바로 앞에 그대로 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
a−b에서 부호를 흘린다
b=−11이므로 a−b=3−(−11)=14입니다. 3−11=−8로 쓰는 오답이 가장 많습니다. 음수는 반드시 괄호를 씌워 옮겨 적으세요. -
조건 하나만 쓰고 식을 세운 척한다
미지수 두 개에는 식 두 개가 필요합니다. 4a+2b+10=0 하나로는 a도 b도 정해지지 않습니다. 남은 조건이 있는지 문제 문장을 손가락으로 짚어 세어 보세요. -
“기울기가 1″을 y=x+□ 로 옮긴다
접선의 방정식까지 세울 필요가 없습니다. 기울기 조건은 f′(2)=1 한 줄이면 끝입니다. 식을 더 만들수록 실수 지점만 늘어납니다. -
상수항 10을 미분에서 빠뜨리거나 남겨 둔다
f′(x)=2ax+b입니다. 10은 미분하면 사라지지만, f(2) 계산에서는 반드시 살아 있어야 합니다. 두 계산에서 역할이 정반대라는 점을 확인하세요. -
답만 덜렁 쓰고 근거 문장을 생략한다
서술형은 관계식 두 개에 배점의 80%가 있습니다. “점을 지나므로”, “접선의 기울기가 1이므로”를 쓰지 않으면 답이 맞아도 감점입니다.
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