쎈미적분1 0337

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 18

0337
난이도 중
곱의 미분법 + 삼차방정식
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문제 보기 전에

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함수 f(x)=(x−k)³과 다항함수 g(x)에 대하여 곡선 y=f(x)g(x) 위의 x=2인 점에서의 접선의 기울기가 2이다. g(2)=1, g′(2)=1일 때, 모든 실수 k의 값의 곱을 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

g(x)를 모르는 채로 곱의 미분법을 쓰라는 문제

g(x)의 식은 끝까지 주어지지 않습니다. 주어진 건 g(2)=1, g′(2)=1이라는 두 값뿐이고, 이건 “곱의 미분법을 쓴 뒤 x=2를 대입하면 딱 이 두 값만 필요하다”는 신호입니다. 그다음은 접선의 기울기 조건이 k에 대한 삼차방정식으로 바뀌고, 마지막에 모든 실수 근의 곱을 묻습니다. 미분 문제로 시작해서 방정식 문제로 끝나는 구조입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — g(x)를 구하려 하지 마세요
g(x)는 “다항함수”라고만 했습니다. 식을 세울 수 없고, 세울 필요도 없습니다.
y=f(x)g(x)의 기울기는 y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). 여기에 x=2를 넣으면 필요한 것은 g(2)와 g′(2)뿐인데, 둘 다 문제가 주었습니다.
힌트 2 — 식 세우기
f′(x)=3(x−k)²이고 f(2)=(2−k)³, f′(2)=3(2−k)²입니다.
기울기 조건은 3(2−k)²·1+(2−k)³·1=2. 여기서 2−k=t로 놓으면 t³+3t²−2=0이라는 깔끔한 삼차방정식이 됩니다. (k로 바로 전개해도 되지만 부호 실수가 늘어납니다.)
힌트 3 — 근을 세고, 물은 것을 다시 보세요
t=−1을 넣으면 0이므로 (t+1)(t²+2t−2)=0. 남은 이차식은 판별식이 양수라 실근이 두 개 더 있습니다. 즉 실수 k는 세 개입니다.
t를 구했으면 k=2−t로 되돌리는 것을 잊지 마세요. 문제가 물은 것은 k의 값이 아니라 세 값의 곱입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 18  (k=3, 3−√3, 3+√3)

쎈 미적분1 0337번 해설 1
쎈 미적분1 0337번 해설 2

풀이영상

더 빠른 길 — 근과 계수의 관계

정리하면 k³−9k²+24k−18=0입니다. 삼차방정식의 세 근의 곱은 −(상수항)/(최고차항 계수)=18.
단, 이 지름길은 세 근이 모두 실수일 때만 쓸 수 있습니다. (k−3)(k²−6k+6)=0에서 이차식의 판별식이 36−24=12>0임을 확인하고 나서 18이라고 답하세요. 만약 허근이 섞여 있었다면 “모든 실수 k의 곱”은 18이 아닙니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 곱의 미분법에서 한 항을 빠뜨린다
    (fg)′=f′g+fg′입니다. f′g만 쓰면 (2−k)³ 항이 통째로 사라져 이차방정식이 되고, 답이 완전히 달라집니다.
  • (x−k)³을 3(x−k)²으로 미분하고 만족한다
    여기서는 안쪽이 x−k라 도함수가 1이라 결과가 같지만, 합성함수라는 인식 없이 넘어가면 (2x−k)³ 같은 문제에서 그대로 틀립니다. 안쪽 미분을 곱한다는 절차를 눈으로 확인하세요.
  • 이차식의 실근 여부를 확인하지 않는다
    “모든 실수 k”라는 표현은 허근이 있을 수 있음을 암시합니다. k²−6k+6=0의 판별식을 계산해 실근 두 개임을 밝힌 뒤에야 세 값을 다 곱할 수 있습니다.
  • t로 치환하고 k로 되돌리지 않는다
    t=2−k입니다. t=−1, −1±√3을 그대로 곱하면 답이 −2가 나옵니다. k=2−t로 바꾸면 3, 3∓√3입니다.
  • k=3 하나만 찾고 끝낸다
    인수분해로 (k−3)까지 뽑아낸 뒤 남은 이차식을 버리는 실수가 많습니다. 삼차방정식이면 근이 몇 개인지부터 세고 시작하세요.
  • 곱이 아니라 합을 구한다
    세 근의 합은 9, 곱은 18입니다. 근과 계수의 관계를 쓸 때 어느 쪽을 물었는지 문제 문장에 밑줄을 그어 두세요.


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