쎈미적분1 0335

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 18

0335
대표문제
접선의 기울기를 이용한 미정계수의 결정
풀이영상 있음

문제 보기 전에

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함수 f(x)=x²+ax+2에 대하여 y=f(x)의 그래프 위의 점 (1, 4)에서의 접선의 기울기가 m일 때, 상수 a, m에 대하여 a+m의 값은?

  1. ① 1
  2. ② 2
  3. ③ 3
  4. ④ 4
  5. ⑤ 5

문제를 읽자마자

출제의도

조건이 두 개다. 지난다는 대입, 기울기는 미분

“점 (1, 4)에서의 접선”이라는 한 문장 안에 서로 다른 조건 두 개가 들어 있습니다. 점 (1, 4)를 지난다 → f(1)=4로 a를 정하고, 그 점에서의 접선의 기울기 → f′(1)=m으로 m을 읽습니다. 이 유형은 이 둘을 분리해서 각각 다른 식으로 옮길 수 있는지만 봅니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 미지수부터 세기
모르는 값이 a와 m 두 개입니다. 그러면 식도 두 개가 필요합니다.
문제에서 준 조건도 정확히 두 개입니다. 어떤 문장이 어떤 식이 되는지 짝을 지어 보세요. 먼저 정해야 하는 건 a입니다.
힌트 2 — a 정하기
점 (1, 4)가 y=f(x)의 그래프 위의 점이라고 했습니다. 곡선 위의 점이라는 말은 좌표를 대입하면 등식이 성립한다는 뜻입니다.
f(1)=4를 쓰면 1+a+2=4. a가 바로 나옵니다.
힌트 3 — m 읽기
a를 넣어 f(x)를 완성한 다음 미분하세요. x=1에서의 접선의 기울기 = f′(1)입니다.
접선의 방정식을 세울 필요는 없습니다. 기울기만 물었으니 미분계수 하나면 끝입니다. 마지막에 a+m을 계산하는 것도 잊지 마세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  a+m = 4

쎈 미적분1 0335번 해설

풀이영상

확인하는 습관 — 답이 맞는지 30초 검산

a=1을 넣으면 f(x)=x²+x+2. 여기에 x=1을 대입하면 f(1)=4로 문제의 점과 일치합니다. 미정계수를 구한 뒤에는 원래 조건에 되돌려 넣어 보는 이 한 줄이 계산 실수를 거의 다 걸러 줍니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 접선의 방정식을 세우고 앉아 있는다
    문제가 물은 건 기울기 m뿐입니다. y−4=m(x−1)까지 갈 일이 없습니다. “그 점에서의 접선의 기울기”는 곧바로 f′(1)로 읽으세요.
  • a를 모른 채로 f′(1)부터 계산한다
    f′(x)=2x+a라 f′(1)=2+a입니다. a가 정해지지 않으면 m도 정해지지 않습니다. 순서는 항상 a 먼저, m 나중입니다.
  • 점 (1, 4)의 4를 x자리에 넣는다
    대입하는 건 f(1)=4입니다. f(4)=1로 쓰면 a가 통째로 달라집니다. 괄호 안은 x, 등호 오른쪽은 y라고 소리 내어 확인하세요.
  • m까지 구하고 멈춘다
    구한 m=3은 답이 아닙니다. 문제가 요구한 것은 a+m. a=1을 다시 꺼내 더해야 4가 됩니다. 선지에 3이 있으므로 그대로 골라도 티가 나지 않습니다.
  • 미분을 x²+ax+2에서 a까지 미분해 버린다
    a는 상수입니다. f′(x)=2x+a이지 2x+1이 아닙니다. 상수를 문자로 쓴 순간 미분 대상인지 아닌지부터 표시해 두세요.


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