쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0329
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극한 조건으로 다항함수 결정
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문제를 읽자마자
출제의도
두 조건이 각각 차수·최고차항과 미분계수를 준다는 것을 읽어내라는 문제
미지수가 a, b, c, d로 넷인데 조건은 둘뿐입니다. 하나로 둘을 잡아야 한다는 뜻입니다. (가)의 x→∞ 극한은 a와 b를 한꺼번에 확정하고, (나)의 0/0 꼴 극한은 f(2)와 f′(2)를 한꺼번에 내줍니다. 각 조건에서 정보를 두 개씩 뽑아내면 미지수 넷이 정확히 맞아떨어집니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — (가)부터 손대기
분모는 2차식입니다. 만약 a≠0이라면 분자는 3차라서 극한값이 존재할 수 없습니다.
그러므로 a=0. 그러면 분자도 2차식이 되고, 이때 x→∞ 극한값은 최고차항의 계수비입니다. b는 얼마일까요?
그러므로 a=0. 그러면 분자도 2차식이 되고, 이때 x→∞ 극한값은 최고차항의 계수비입니다. b는 얼마일까요?
힌트 2 — (나)를 두 번 읽기
x→2일 때 분모 x−2 → 0인데 극한값 16이 존재합니다. 그러면 분자도 반드시 0으로 가야 합니다.
즉 f(2)−22=0 ⟹ f(2)=22. 이걸 알고 나면 22 자리에 f(2)를 대신 써 넣을 수 있고, 그 순간 식은 미분계수의 정의 그 자체가 됩니다.
즉 f(2)−22=0 ⟹ f(2)=22. 이걸 알고 나면 22 자리에 f(2)를 대신 써 넣을 수 있고, 그 순간 식은 미분계수의 정의 그 자체가 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(x)=3x²+cx+d, f′(x)=6x+c 입니다. f(2)=22와 f′(2)=16, 이 두 식으로 c와 d를 구하세요.
다 구한 뒤 a=0을 빼먹지 말고 a+b+c+d를 계산하세요.
다 구한 뒤 a=0을 빼먹지 말고 a+b+c+d를 계산하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 9
풀이영상
더 빠른 길 — 인수정리로 한 번에
(가)에서 f(x)=3x²+cx+d가 확정됩니다. (나)에서 f(2)=22이므로 f(x)−22는 x−2를 인수로 가집니다.
f(x)−22=(x−2)(3x+k)로 두면 주어진 극한은 그대로 3·2+k=16 ⟹ k=10.
(x−2)(3x+10)+22=3x²+4x+2 이므로 c=4, d=2가 미분 없이 한 번에 나옵니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
“f(x)=ax³+…”이라 썼으니 3차함수라고 단정한다
문제는 a, b, c, d를 상수라고만 했습니다. a=0일 수 있다는 가능성을 열어두지 않으면 (가)에서 막힙니다. 3차라고 못 박은 문장은 어디에도 없습니다. -
분자 → 0 확인을 건너뛴다
(나)에서 f(2)=22를 얻는 근거는 “분모→0이고 극한값이 존재하므로 분자→0″입니다. 서술형이라면 이 한 줄이 없을 때 감점입니다. -
f′(2)=16을 f(2)=16으로 바꿔 쓴다
주어진 극한값 16은 함숫값이 아니라 미분계수입니다. f(2)=22, f′(2)=16 — 두 값을 표에 따로 적어놓고 시작하세요. -
(가)에서 c, d까지 정해진다고 생각한다
x→∞ 극한은 최고차항만 봅니다. (가)가 주는 정보는 a=0과 b=3, 딱 둘입니다. 나머지 두 개는 (나)의 몫입니다. -
a=0을 합계에서 빼먹는다
c=4, d=2를 구하고 b=3까지 더해 7로 답하는 사고가 잦습니다. 묻는 것은 a+b+c+d이고 a=0도 엄연히 항입니다. 0+3+4+2=9.