쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형16
0328
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미분계수를 이용한 미정계수의 결정
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문제를 읽자마자
출제의도
분모를 인수분해해서 (x−1)−1을 만들어 내라 — 안이 f(x)가 아니라 f(x−1)인 것이 핵심
앞 문항과 논리는 같습니다. 분모→0, 극한 존재 ⟹ 분자→0에서 f(1)=5를 얻습니다. 달라진 점은 함수 안이 x−1이라는 것. 분모 x²−4=(x+2)(x−2)에서 x−2가 곧 (x−1)−1이라는 대응을 보는 순간, 남는 것은 f′(1)과 상수 1/4뿐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 5의 정체부터
x→2에서 분모 x²−4는 0으로 가는데 극한값 3이 존재합니다. 그러므로 분자 f(x−1)−5도 0으로 가야 합니다.
x→2일 때 x−1→1이므로 이 조건은 f(1)=5. 즉 분자의 5는 곧 f(1)입니다.
x→2일 때 x−1→1이므로 이 조건은 f(1)=5. 즉 분자의 5는 곧 f(1)입니다.
힌트 2 — 분모를 쪼개 x−2 만들기
분자를 f(x−1)−f(1)로 고쳐 쓰고, 분모는 (x+2)(x−2)로 인수분해하세요.
여기서 x−2를 (x−1)−1로 보면 분자·분모가 같은 증가량을 갖습니다. 남는 (x+2)는 x=2를 그대로 대입하면 되는 조각입니다.
여기서 x−2를 (x−1)−1로 보면 분자·분모가 같은 증가량을 갖습니다. 남는 (x+2)는 x=2를 그대로 대입하면 되는 조각입니다.
힌트 3 — 값 두 개로 a, b 잡기
정리하면 (1/4)f′(1)=3, 즉 f′(1)=12입니다.
f′(x)=2x+2a이므로 2+2a=12에서 a를 구하고, f(1)=5, 즉 1+2a+b=5에 넣어 b를 구하세요. 마지막에 묻는 값은 f(1)도 f′(2)도 아닌 f(2)입니다.
f′(x)=2x+2a이므로 2+2a=12에서 a를 구하고, f(1)=5, 즉 1+2a+b=5에 넣어 b를 구하세요. 마지막에 묻는 값은 f(1)도 f′(2)도 아닌 f(2)입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ① f(2) = 18
풀이영상
다른 길 — 치환으로 변수 자체를 바꾸기
x−1=t로 놓으면 x=t+1이고 x→2일 때 t→1입니다. 분모 x²−4=(t+1)²−4=(t+3)(t−1)이므로
주어진 극한은 limt→1 {f(t)−f(1)}/{(t+3)(t−1)} = (1/4)f′(1). 인수분해 대응이 눈에 잘 안 들어오는 학생은 이 치환 쪽이 안전합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(x−1)을 f(x)로 읽고 f(2)=5라 쓴다
x→2에서 함수에 들어가는 값은 1입니다. 얻어지는 조건은 f(1)=5. 이 한 글자를 놓치면 이후 계산이 전부 어긋납니다. -
분모를 인수분해하지 않고 통째로 둔다
x²−4 상태로는 미분계수 정의가 보이지 않습니다. (x+2)(x−2)로 쪼갠 뒤 x−2=(x−1)−1로 읽는 것이 이 문제의 유일한 기술입니다. -
1/(x+2) → 1/4를 곱하지 않고 넘어간다
f′(1)=3으로 나오면 이 경우입니다. 정답은 (1/4)f′(1)=3, 즉 f′(1)=12. 나눗셈 방향(4를 곱할지 나눌지)도 함께 확인하세요. -
f(x)=x²+2ax+b에서 f′(x)를 2x+a로 쓴다
일차항 계수가 a가 아니라 2a입니다. f′(x)=2x+2a. 여기서 틀리면 a=5가 아니라 a=10이 나옵니다. -
f(1)까지 구하고 답으로 낸다
구한 f(x)=x²+10x−6에 x=2를 넣어 4+20−6=18까지 가야 합니다. 문제가 f(2)를 물었다는 것을 마지막에 한 번 더 읽으세요.
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