쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 17 치환을 이용한 극한값의 계산
0330
대표 문제
미분계수의 정의
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출제의도
인수분해가 막히도록 설계된 0/0 — 미분계수의 정의로 넘어오라는 신호
n이 미지수라서 xⁿ−2x+1을 x−1로 나누는 길이 원천 봉쇄되어 있습니다. 그런데 x=1을 넣으면 분자도 분모도 0. 이 두 사실이 겹치는 순간 남는 도구는 하나뿐입니다. 분자를 f(x)−f(1) 모양으로 만들어 f′(1)로 읽는 것. 이 유형은 “어떤 f를 잡을 것인가”만 결정하면 끝납니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
x=1을 대입해 보세요. 분자 1−2+1=0, 분모 0. 0/0 꼴입니다.
보통이라면 분자를 x−1로 인수분해하겠지만, n이 문자라 그 길은 닫혀 있습니다. 분모가 x−1이라는 점, 그리고 답이 f′(1) 꼴이 되어야 한다는 점을 연결해 보세요.
보통이라면 분자를 x−1로 인수분해하겠지만, n이 문자라 그 길은 닫혀 있습니다. 분모가 x−1이라는 점, 그리고 답이 f′(1) 꼴이 되어야 한다는 점을 연결해 보세요.
힌트 2 — f를 잡기
필요한 모양은 {f(x)−f(1)} / (x−1) 입니다.
f(x)=xⁿ−2x로 두면 f(1)=1−2=−1. 그러면 분자 xⁿ−2x+1은 정확히 f(x)−(−1)=f(x)−f(1)이 됩니다. 상수 +1이 왜 붙어 있었는지가 여기서 설명됩니다.
f(x)=xⁿ−2x로 두면 f(1)=1−2=−1. 그러면 분자 xⁿ−2x+1은 정확히 f(x)−(−1)=f(x)−f(1)이 됩니다. 상수 +1이 왜 붙어 있었는지가 여기서 설명됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
주어진 극한은 곧 f′(1)입니다. f′(x)=nxⁿ⁻¹−2이므로 f′(1)=n−2.
이 값을 15와 놓고 n을 구하세요. 뺄셈 방향을 거꾸로 하지 않도록 주의하세요.
이 값을 15와 놓고 n을 구하세요. 뺄셈 방향을 거꾸로 하지 않도록 주의하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ n = 17
풀이영상
더 빠른 길 — 두 조각으로 쪼개기
분자를 (xⁿ−1)−2(x−1)로 나눠 씁니다. 그러면 식은
(xⁿ−1)/(x−1) − 2 가 되고, 앞 항은 x−1로 나누어떨어져 1+x+x²+…+xⁿ⁻¹ (항이 n개).
x→1이면 이 값이 n이므로 극한은 n−2. 미분계수를 쓰지 않고도 같은 결론에 닿습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
n−2=15를 n=13으로 푼다
선지 ② 13이 바로 이 실수를 노리고 배치되어 있습니다. n−2=15 ⟹ n=17. 이항 방향을 손으로 한 번 더 쓰세요. -
f(x)=xⁿ−2x+1로 두고 f(1)을 −1로 쓴다
f를 어떻게 잡든 상관없지만, 잡은 f로 f(1)을 다시 계산해야 합니다. f(x)=xⁿ−2x+1이면 f(1)=0, f(x)=xⁿ−2x이면 f(1)=−1입니다. 둘을 섞으면 상수 하나가 어긋납니다. -
0/0 확인 없이 미분계수 꼴로 넘어간다
분자와 분모가 함께 0이 되는지 먼저 확인하는 것이 이 변형의 전제입니다. 서술형에서는 “x→1일 때 (분모)→0이고 극한값이 존재하므로 (분자)→0” 한 줄이 근거가 됩니다. -
f′(x)=nxⁿ⁻¹−2에서 지수를 −1 하지 않는다
xⁿ의 도함수는 nxⁿ⁻¹입니다. x=1을 대입하면 어차피 1이라 티가 안 나지만, 같은 유형이 x=2, x=−1로 나오면 그대로 틀립니다. -
n이 자연수라는 조건을 무시한다
본문에 “자연수 n”이 명시되어 있습니다. 이 조건 덕분에 xⁿ의 미분과 1+x+…+xⁿ⁻¹ 전개가 모두 정당화됩니다. 답이 자연수로 떨어지는지 마지막에 확인하세요.