쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
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미분계수의 정의
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출제의도
f(x)를 구하려 하지 말고, 분자에 f(1)을 끼워 넣어 미분계수 정의 꼴을 만들라는 문제
주어진 것은 f(1)=4, f′(1)=3 딱 두 개입니다. 함수식은 끝까지 나오지 않습니다. 분자 x²f(1)−f(x)를 그대로 두면 0/0일 뿐이고, −f(1)+f(1)을 몰래 넣어 {f(x)−f(1)}/(x−1) 덩어리와 (x²−1)/(x−1) 덩어리로 쪼개는 것이 이 문제의 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건 읽는 법
“점 (1, 4)를 지난다”는 f(1)=4, “그 점에서 접선의 기울기가 3″은 f′(1)=3입니다. 조건이 두 줄로 번역되었는데 미지수가 하나도 없다면, 답은 f(x)를 구해서 나오는 것이 아닙니다.
그렇다면 분자 x²f(1)은 상수 4를 곱한 x²이라는 뜻인데, 이걸 알아채셨나요?
그렇다면 분자 x²f(1)은 상수 4를 곱한 x²이라는 뜻인데, 이걸 알아채셨나요?
힌트 2 — 0을 하나 끼워 넣기
x→1일 때 분모는 0, 분자도 4−4=0입니다. 0/0이므로 분모의 (x−1)이 반드시 약분되어야 합니다.
분자를 x²f(1) −f(1)+f(1) −f(x)로 다시 쓰면 어떤 두 덩어리로 갈라지나요? 한쪽은 f(1)(x²−1), 다른 한쪽은 −{f(x)−f(1)}입니다.
분자를 x²f(1) −f(1)+f(1) −f(x)로 다시 쓰면 어떤 두 덩어리로 갈라지나요? 한쪽은 f(1)(x²−1), 다른 한쪽은 −{f(x)−f(1)}입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
(x²−1)/(x−1)=x+1이므로 x→1에서 2로 갑니다. {f(x)−f(1)}/(x−1)은 정의 그대로 f′(1)입니다.
남은 건 앞에 붙은 −부호뿐입니다. 2f(1)−f′(1)의 순서와 부호를 그대로 지켜서 대입하세요.
남은 건 앞에 붙은 −부호뿐입니다. 2f(1)−f′(1)의 순서와 부호를 그대로 지켜서 대입하세요.
다 풀고 나서
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정답 5
더 빠른 길 — 통째로 하나의 함수로 보기
g(x)=x²f(1)−f(x)로 두면 g(1)=4−4=0이므로, 주어진 극한은 그대로 g′(1)입니다.
g′(x)=2x·f(1)−f′(x)이므로 g′(1)=2·4−3=5. f(1)이 상수라는 점만 확실하면 두 줄로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x²f(1)을 f(x²)으로 읽는다
f(1)은 값이 4로 확정된 상수입니다. x²f(1)=4x²일 뿐, 합성함수가 아닙니다. 미분할 때도 f(1)은 그대로 딸려 나옵니다. -
−f(1)+f(1)을 끼워 넣지 않고 f(x)를 구하려 든다
조건이 f(1), f′(1) 두 개뿐이면 함수식은 결정되지 않습니다. 미분계수 정의 꼴을 만들라는 신호입니다. -
분자의 −부호를 흘린다
−f(x)에서 시작했으므로 나오는 것은 −f′(1)입니다. 답이 3+8=11로 나왔다면 이 경우입니다. -
(x²−1)/(x−1)의 극한을 1로 잡는다
약분하면 x+1이고 x→1이므로 값은 2입니다. 여기를 1로 두면 4가 나옵니다. -
f(1)과 f′(1)의 값을 바꿔 넣는다
점의 y좌표가 f(1)=4, 접선의 기울기가 f′(1)=3입니다. 2f(1)−f′(1)에 3과 4를 뒤집어 넣으면 2·3−4=2가 나옵니다.
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