쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 07 미분계수의 기하적 의미
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난이도 하
접선의 기울기 대소
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문제를 읽자마자
출제의도
계산하는 문제가 아니라, 네 점에 접선을 직접 그어 비교하는 문제
f′(a)는 x=a에서의 접선의 기울기입니다. 함수식이 주어지지 않았으니 할 일은 하나뿐, 각 점에 자를 대듯 접선을 그려 보는 것입니다. 그다음 순서도 정해져 있습니다. 올라가는지 내려가는지로 부호를 갈라 두 무리로 나누고, 같은 부호끼리만 가파른 정도로 줄을 세웁니다. 이 두 단계를 지키면 눈대중으로 헤맬 일이 없습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇을 비교하는가
그래프의 높이를 비교하고 있다면 문제를 잘못 읽은 것입니다. 묻는 것은 f(a)가 아니라 f′(a)입니다.
네 점 각각에서 곡선에 닿기만 하는 짧은 직선을 연필로 그어 보세요. 그 직선의 기울기가 답의 재료입니다.
네 점 각각에서 곡선에 닿기만 하는 짧은 직선을 연필로 그어 보세요. 그 직선의 기울기가 답의 재료입니다.
힌트 2 — 부호로 먼저 가르기
접선이 오른쪽 위를 향하면 양수, 오른쪽 아래를 향하면 음수입니다.
이 한 번의 분류로 네 값이 두 무리로 갈립니다. 무리가 갈리는 순간, 서로 다른 무리 사이의 대소는 더 볼 것도 없이 끝납니다.
이 한 번의 분류로 네 값이 두 무리로 갈립니다. 무리가 갈리는 순간, 서로 다른 무리 사이의 대소는 더 볼 것도 없이 끝납니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
남은 건 같은 부호끼리의 비교, 즉 가파른 정도입니다.
양수끼리는 가파를수록 크지만, 음수끼리는 가파를수록 작습니다. 이 마지막 한 문장에서 오답의 절반이 나옵니다. −3과 −1 중 큰 쪽을 떠올리며 확인하세요.
양수끼리는 가파를수록 크지만, 음수끼리는 가파를수록 작습니다. 이 마지막 한 문장에서 오답의 절반이 나옵니다. −3과 −1 중 큰 쪽을 떠올리며 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 f′(d) < f′(c) < f′(a) < f′(b)
검토하는 법 — 한꺼번에 줄 세우지 않기
네 값을 동시에 정렬하려 들면 반드시 한 곳에서 어긋납니다. 부호로 두 무리를 만든 뒤 각 무리 안에서만 비교하세요.
무리마다 두 개씩이면 비교는 단 두 번이면 끝나고, 마지막에 두 무리를 이어 붙이기만 하면 됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(a)와 f′(a)를 바꿔 읽는다
그래프의 높이가 아니라 그 점에서의 기울기입니다. 가장 높은 점이 f′가 가장 큰 점인 경우는 오히려 드뭅니다. -
음수끼리 가파른 쪽을 크다고 한다
−3과 −1 중 큰 것은 −1입니다. 가파르게 내려갈수록 미분계수는 더 작아집니다. 이 문제 오답의 대부분이 여기서 나옵니다. -
접선을 그리지 않고 눈대중으로 답한다
기울기 비교는 눈보다 손이 정확합니다. 짧게라도 직선을 그어 두면 부호는 즉시 보이고, 가파른 정도도 나란히 놓고 비교할 수 있습니다. -
극값에서 접선이 수평이라는 사실을 안 쓴다
극대·극소인 점의 접선은 x축과 평행하고 기울기가 0입니다. 이 지점들이 양수 무리와 음수 무리를 갈라 주는 기준선 역할을 합니다. -
x좌표 순서를 그대로 답의 순서로 옮긴다
a<b<c<d라고 해서 f′(a)<f′(b)<f′(c)<f′(d)가 되지는 않습니다. 두 순서 사이에는 아무 관계가 없습니다.