쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 07 미분계수의 기하적 의미
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대표 문제
접선의 기울기
풀이영상 있음
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문제를 읽자마자
출제의도
그림에서 읽어야 할 것은 f(1)이 아니라 접선의 기울기 f′(1)
미분계수의 기하적 의미는 한 줄입니다. 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기가 곧 f′(a). 그림이 주는 정보는 결국 접선이 지나는 두 점뿐이고, 거기서 기울기를 계산하면 f′(1)이 확정됩니다. 남은 절반은 분모의 2h를 미분계수의 정의 꼴로 맞추는 계수 조정이고, 배점은 사실상 이 두 번째 절반에 걸려 있습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그림에서 뽑을 것
그림의 5와 6을 f(1)로 쓰려 하고 있지 않나요? 이 문제에서 f(1)의 값은 계산 도중 스스로 사라집니다.
필요한 건 곡선이 아니라 직선 하나입니다. 그 직선이 지나는 두 점을 좌표로 적어 보세요.
필요한 건 곡선이 아니라 직선 하나입니다. 그 직선이 지나는 두 점을 좌표로 적어 보세요.
힌트 2 — 기울기 계산
접선이 (0, 6)과 (1, 5)를 지나므로 기울기는 (5−6)/(1−0)입니다.
이 값이 왜 f′(1)과 같은지 한 문장으로 말할 수 있어야 합니다. “x=1인 점에서의 접선의 기울기가 f′(1)이므로” — 서술형이면 이 줄이 배점입니다.
이 값이 왜 f′(1)과 같은지 한 문장으로 말할 수 있어야 합니다. “x=1인 점에서의 접선의 기울기가 f′(1)이므로” — 서술형이면 이 줄이 배점입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
분자의 증가분은 3h인데 분모는 2h입니다. 정의 꼴 {f(1+3h)−f(1)}/(3h)를 만들려면 분모를 3h로 고치고 밖에 3/2를 곱해 주어야 합니다.
3/2인지 2/3인지 헷갈리면, 분자의 h 계수가 위·분모의 h 계수가 아래라고 외우세요.
3/2인지 2/3인지 헷갈리면, 분자의 h 계수가 위·분모의 h 계수가 아래라고 외우세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 −3/2
계수가 헷갈릴 때 — 치환으로 처리하기
3h=t로 놓으면 h→0일 때 t→0이고 h=t/3이므로 분모 2h는 2t/3이 됩니다.
따라서 주어진 극한은 (3/2)·limt→0 {f(1+t)−f(1)} / t = (3/2)f′(1) = −3/2. 계수 조정이 손에 안 붙는 동안은 치환이 더 안전합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
그래프의 y좌표를 미분계수로 쓴다
5는 f(1), 6은 접선의 y절편입니다. 기울기는 이 두 점을 이어서 나오는 값이지 좌표 자체가 아닙니다. 답이 5나 6이 섞여 나왔다면 여기입니다. -
두 점의 순서를 한쪽만 뒤집는다
(5−6)/(1−0)이든 (6−5)/(0−1)이든 −1로 같아야 정상입니다. +1이 나왔다면 분자와 분모 중 한쪽만 뒤집어 쓴 것입니다. -
분모의 2h를 무시하고 3f′(1)로 답한다
{f(1+3h)−f(1)}/h = 3f′(1)이라는 형태만 외운 결과입니다. 이 문제의 분모는 h가 아니라 2h이고, 그래서 3이 아니라 3/2가 붙습니다. -
계수를 3/2 대신 2/3으로 뒤집는다
3h/2h = 3/2입니다. 답이 −2/3으로 나왔다면 분자·분모의 계수를 반대로 옮긴 것이니 치환(3h=t)으로 다시 확인하세요. -
어느 점에서의 접선인지 확인하지 않는다
x=1인 점에서의 접선이므로 필요한 값은 f′(1)입니다. 직선과 곡선이 만나는 다른 지점을 기준으로 잡으면 문제 자체가 달라집니다.