쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0292
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함수방정식과 미분계수
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문제를 읽자마자
출제의도
f(x)를 구하지 말고, 미분계수의 정의 안에 관계식을 그대로 집어넣으라는 문제
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy−1은 함수를 특정하라는 조건이 아닙니다. 이런 관계식이 나오면 손이 갈 곳은 두 군데로 정해져 있습니다. x=y=0을 넣어 f(0)을 확정하는 것, 그리고 f′(k)의 정의식 속 f(k+h)를 관계식으로 풀어헤치는 것. 이 두 동작만으로 f′(k)=f′(0)+2k가 나오고, 그다음은 수열의 합 계산입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 첫 단추
관계식만 붙잡고 f(x)의 모양을 추측하고 있다면 방향이 틀렸습니다. 이런 문제의 첫 줄은 예외 없이 대입입니다.
x와 y에 무엇을 넣어야 f(0)만 남을까요? 대입한 뒤 양변에 f(0)이 몇 번 나오는지 세어 보세요.
x와 y에 무엇을 넣어야 f(0)만 남을까요? 대입한 뒤 양변에 f(0)이 몇 번 나오는지 세어 보세요.
힌트 2 — 정의로 돌아가기
f′(2)=limh→0 {f(2+h)−f(2)} / h 에서 f(2+h)를 관계식으로 바꿔 쓰세요. x=2, y=h를 대입하는 겁니다.
f(2)가 소거되고 나면 무엇이 남나요? 이때 2xy 항이 2h가 아니라 4h가 된다는 점을 확인하세요.
f(2)가 소거되고 나면 무엇이 남나요? 이때 2xy 항이 2h가 아니라 4h가 된다는 점을 확인하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
2를 k로 바꿔 같은 계산을 그대로 반복하면 f′(k)=f′(0)+2k가 나옵니다. f′(0)을 이미 구했으니 이제 남은 건 Σk=110(2k+3)뿐입니다.
상수 3은 한 번이 아니라 10번 더해진다는 걸 잊지 마세요.
상수 3은 한 번이 아니라 10번 더해진다는 걸 잊지 마세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ 140
검산용 — 이 관계식을 만족하는 함수
사실 조건을 만족하는 함수는 f(x)=x²+3x+1입니다. f′(x)=2x+3이므로 f′(2)=7이 맞고, Σ(2k+3)=140도 그대로 나옵니다.
다만 시험에서 함수를 이렇게 “찍어” 쓰면 근거가 없어 서술형에서는 점수를 받지 못합니다. 답이 맞았는지 확인하는 용도로만 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(0)을 구하지 않고 관계식을 만지작거린다
x=y=0 대입은 선택이 아니라 필수 첫 줄입니다. f(0)=2f(0)−1에서 f(0)=1이 나오고, 이 값이 뒤에서 f(h)−1을 f(h)−f(0)으로 바꾸는 근거가 됩니다. -
2xy 항의 계수를 잘못 옮긴다
x=2, y=h면 2xy=4h이고, x=k, y=h면 2xy=2kh입니다. 4h를 2h로 적으면 f′(0)이 5로 나와 답이 통째로 어긋납니다. -
f′(2)=7을 f(2)=7로 읽는다
문제가 준 것은 함숫값이 아니라 미분계수입니다. f(2)의 값은 이 문제에서 끝까지 필요하지 않고, 계산 과정에서 스스로 소거됩니다. -
f(h)−1을 f(h)−f(0)으로 바꾸는 근거를 안 쓴다
이 치환이 있어야 극한이 f′(0)의 정의가 됩니다. 서술형이라면 f(0)=1을 명시한 줄이 반드시 앞에 있어야 감점을 피합니다. -
Σ(2k+3)에서 상수항을 한 번만 더한다
3은 k=1부터 10까지 10번 더해져 30입니다. 2·(10·11/2)=110에 30을 더해 140. 113이 나왔다면 여기입니다.
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