쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0291
난이도 중상
유형 06 · 항등식과 미분계수
서술형
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문제를 읽자마자
출제의도
항등식에 붙은 xy 한 덩어리 때문에 미분계수가 점마다 달라진다는 것을 잡아내는 문제
앞 문제(0290)의 f(x+y)=f(x)+f(y)에서는 어느 점에서 미분해도 값이 같았습니다. 여기에 xy가 붙는 순간 사정이 바뀝니다. 정의식에 넣으면 f′(a)=f′(0)+a 라는 관계가 나오고, 미분계수가 a에 따라 움직입니다. 그래서 주어진 f′(1)에서 먼저 f′(0)을 역산한 다음 f′(2)로 넘어가야 합니다. 한 단계를 건너뛸 수 없게 설계된 서술형입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 출발점은 언제나 대입
항등식을 받으면 x=0, y=0을 대입하세요. xy항도 0이 되므로 f(0)=f(0)+f(0)입니다.
여기서 나오는 f(0)의 값은 뒤에서 f(h)/h를 미분계수로 바꿀 때 반드시 쓰입니다.
여기서 나오는 f(0)의 값은 뒤에서 f(h)/h를 미분계수로 바꿀 때 반드시 쓰입니다.
힌트 2 — 정의식에 넣되, xy를 놓치지 말 것
f′(1)의 정의식에서 f(1+h)를 항등식으로 쪼개면 f(1)+f(h)+1·h가 됩니다. 이 마지막 h가 이 문제의 핵심입니다.
f(1)이 소거되고 나면 분자에 f(h)와 h가 남습니다. h/h는 얼마인가요?
f(1)이 소거되고 나면 분자에 f(h)와 h가 남습니다. h/h는 얼마인가요?
힌트 3 — 두 번 계산하지 말고 일반화
같은 계산을 a에 대해 하면 f′(a)=f′(0)+a입니다.
주어진 f′(1)=2에 a=1을 넣어 f′(0)을 먼저 구하고, 그 값을 a=2에 다시 넣으세요. f′(1)에서 f′(2)로 곧장 건너뛰면 안 됩니다.
주어진 f′(1)=2에 a=1을 넣어 f′(0)을 먼저 구하고, 그 값을 a=2에 다시 넣으세요. f′(1)에서 f′(2)로 곧장 건너뛰면 안 됩니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 3 f′(0)=1 → f′(2)=3
검산 — 조건을 만족하는 함수를 하나 잡아 보면
f(x)=x²/2+x로 두면 f(x)+f(y)+xy=x²/2+y²/2+xy+x+y=(x+y)²/2+(x+y)=f(x+y)로 조건을 만족합니다.
f′(x)=x+1이므로 f′(1)=2로 조건과 맞고, f′(2)=3. 답 확인용으로만 쓰세요. 서술형 답안에서 함수를 임의로 특정하면 감점 대상입니다.
채점 기준 — f′(0)을 거치는 중간 단계가 40%
❶ f(0)의 값 구하기 20% / ❷ f′(0)의 값 구하기 40% / ❸ f′(2)의 값 구하기 40%.
답만 3이라고 써서는 40%밖에 받지 못합니다. f(0)=0 대입 한 줄과 f′(1)=f′(0)+1에서 f′(0)=1을 뽑는 줄을 반드시 남기세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(a+h)를 쪼갤 때 ah를 빠뜨린다
f(a+h)=f(a)+f(h)+ah입니다. 이 ah가 h로 나뉘어 상수 a로 남는 것이 답의 절반입니다. 빠뜨리면 0290번과 똑같은 답이 나옵니다. -
f′(0)=2로 착각한다
주어진 것은 f′(1)=2입니다. f′(a)=f′(0)+a에 a=1을 넣어 f′(0)=1을 먼저 구한 뒤에 a=2로 넘어가세요. -
f′(2)=2f′(1)처럼 비례로 처리한다
미분계수는 비례하지 않습니다. 관계식은 f′(a)=f′(0)+a, 곱이 아니라 합입니다. -
f(0)=0을 구하는 과정을 생략한다
f(h)/h를 f′(0)으로 바꾸는 근거가 f(0)=0입니다. 배점 20%가 이 한 줄에 걸려 있습니다. -
f(2)의 값을 구하려고 붙잡는다
f(2)는 정의식에서 소거됩니다. 이 문제에서 끝까지 필요하지 않은 값입니다.