쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0290
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유형 06 · 항등식과 미분계수
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문제를 읽자마자
출제의도
f(x)를 구하려 하지 말고, 항등식으로 f(1+h)를 쪼개 정의식에 밀어 넣는 문제
f(x+y)=f(x)+f(y)만 주어졌을 뿐 f의 식은 없습니다. 출제자가 준 무기는 두 개뿐입니다. 하나는 x, y에 원하는 수를 넣을 수 있다는 것(→ f(0)=0), 다른 하나는 f(1+h)를 f(1)+f(h)로 갈라 쓸 수 있다는 것. 이 둘을 미분계수의 정의에 끼워 넣으면 f(1)이 소거되면서 식이 f′(0) 모양으로 내려앉습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 항등식은 대입부터
항등식이 나오면 첫 동작은 늘 같습니다. x=0, y=0을 대입하세요.
f(0)=f(0)+f(0)에서 f(0)의 값이 하나로 정해집니다. 이 값이 뒤에서 반드시 쓰입니다.
f(0)=f(0)+f(0)에서 f(0)의 값이 하나로 정해집니다. 이 값이 뒤에서 반드시 쓰입니다.
힌트 2 — 정의식에 항등식 넣기
f′(1)=limh→0 {f(1+h)−f(1)} / h 로 쓴 다음, 분자의 f(1+h)를 f(1)+f(h)로 바꿔 보세요.
f(1)이 서로 지워지고 남는 것은 f(h)/h 하나뿐입니다.
f(1)이 서로 지워지고 남는 것은 f(h)/h 하나뿐입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(h)/h는 아직 미분계수가 아닙니다. 분자에 −f(0)을 끼워 넣어야 정의식이 됩니다.
f(0)=0이므로 값은 그대로이고 모양만 limh→0 {f(h)−f(0)} / h = f′(0)이 됩니다. 주어진 f′(0)의 값을 그대로 읽으세요.
f(0)=0이므로 값은 그대로이고 모양만 limh→0 {f(h)−f(0)} / h = f′(0)이 됩니다. 주어진 f′(0)의 값을 그대로 읽으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② f′(1)=2
한 번 더 — 1이 아니라 a로 두면
같은 계산을 f′(a)에 대해 해 보면 f′(a)=limh→0 {f(a)+f(h)−f(a)} / h = f′(0)입니다.
즉 이 조건에서는 어느 점에서 미분해도 값이 같습니다. 그래서 f′(1)도, f′(100)도 전부 2입니다. 실제로 이 조건을 만족하는 미분가능한 함수는 f(x)=2x 하나뿐이라는 사실과 맞아떨어집니다. 다만 검산용이지, 답안에는 정의식 계산을 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(0)=0을 구하지 않고 f(h)/h=f′(0)이라 쓴다
f(h)/h가 f′(0)이 되는 근거는 f(0)=0입니다. 이 값이 0이 아니면 성립하지 않습니다. 대입 한 줄을 먼저 쓰세요. -
f(x)의 식을 찾으려 한다
주어진 것은 관계식뿐입니다. 구할 대상은 함수가 아니라 미분계수이고, 항등식은 분자를 쪼개는 도구로만 씁니다. -
f(x+y)=f(x)f(y)와 헷갈린다
곱 형태였다면 f(0)=1이 되고 결론도 달라집니다. 합인지 곱인지부터 확인하고 대입하세요. -
f(1)을 먼저 구하려고 시간을 쓴다
f(1)의 값은 이 문제에서 끝까지 필요 없습니다. 정의식에서 스스로 소거되는 항입니다. -
h→0인데 x→0으로 쓴다
변수를 섞어 쓰면 서술형에서 감점됩니다. 정의식을 세운 변수 하나로 끝까지 밀고 가세요.