쎈미적분1 0297

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0297
난이도 중
그래프와 미분계수의 대소
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0297번 문제

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문제를 읽자마자

출제의도

세 보기를 전부 기울기 비교로 번역한 뒤, 위로 볼록이라는 성질 하나로 다 처리하라는 문제

식이 주어지지 않았으니 계산할 것은 없습니다. f′(a)는 x=a에서의 접선의 기울기, {f(b)−f(a)}/(b−a)는 두 점을 잇는 직선의 기울기, {f(a)+f(b)}/2는 그 직선 위의 중점의 높이입니다. 그림이 위로 볼록하다는 사실을 읽어내면 세 개 모두 그림 위에서 판정됩니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 그래프에서 읽어야 할 단 한 가지
이 곡선은 감소하면서 점점 가팔라집니다. 즉 위로 볼록입니다.
위로 볼록이라는 말은 x가 커질수록 접선의 기울기가 계속 작아진다는 뜻입니다. 0<a<b이므로 f′(a)와 f′(b) 중 어느 쪽이 클까요? 음수끼리의 비교라는 점에 주의하세요.
힌트 2 — ㄴ은 그림에 선 하나를 그어라
{f(a)+f(b)}/2는 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 잇는 직선의 중점의 높이이고, f((a+b)/2)는 같은 x에서의 곡선의 높이입니다.
위로 볼록한 곡선은 그 직선보다 위에 있나요, 아래에 있나요? 보기에 적힌 부등호 방향과 비교해 보세요.
힌트 3 — ㄷ은 접선과 할선의 싸움
{f(b)−f(a)}/(b−a)는 두 점을 잇는 할선의 기울기입니다. 이 값은 a와 b 사이 어딘가에서의 접선 기울기와 같습니다.
접선의 기울기가 계속 감소하고 있으므로, 구간 맨 왼쪽인 x=a에서의 기울기는 그 값보다 클 수밖에 없습니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ③  ㄱ, ㄷ

쎈 미적분1 0297번 해설 1
쎈 미적분1 0297번 해설 2

표로 외워 두는 정리 — 볼록성 한 장

a<b일 때, 위로 볼록이면 f((a+b)/2) > {f(a)+f(b)}/2 이고 f′(a) > {f(b)−f(a)}/(b−a) > f′(b).
아래로 볼록이면 세 부등호가 전부 반대가 됩니다. 이 두 줄만 있으면 같은 유형은 그림 없이도 판정됩니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 음수끼리 비교하면서 절댓값으로 판단한다
    f′(a), f′(b)는 둘 다 음수이고 b에서 더 가파릅니다. 더 가파른 쪽이 더 “작은” 값입니다. 가파르니까 크다고 쓰면 ㄱ이 거짓이 되어 답이 통째로 달라집니다.
  • ㄴ의 부등호 방향을 그림 없이 감으로 찍는다
    위로 볼록이면 곡선이 할선보다 위이므로 f((a+b)/2) > {f(a)+f(b)}/2 입니다. 보기 ㄴ은 부등호가 반대이므로 거짓입니다.
  • 감소함수라서 위로 볼록이라고 착각한다
    증가·감소와 볼록·오목은 별개입니다. 감소하면서 아래로 볼록한 그래프도 얼마든지 있습니다. 판단 기준은 “기울기가 커지는가, 작아지는가”입니다.
  • {f(a)+f(b)}/2를 곡선 위의 점으로 본다
    이것은 두 함숫값의 평균, 즉 할선의 중점 높이입니다. 곡선 위의 점은 f((a+b)/2) 쪽입니다. 두 점의 위치를 그림에 직접 찍어 두면 헷갈리지 않습니다.
  • “있는 대로 고르시오”인데 하나만 고르고 끝낸다
    ㄱ이 참인 걸 확인한 순간 ①로 직행하기 쉽습니다. ㄷ까지 반드시 검토해야 ③이 나옵니다.


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