쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 극한과 연속
0187
난이도 상
주기함수와 연속
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출제의도
이어 붙일 곳이 두 군데다 — x=3, 그리고 주기가 만드는 x=0
f(x)=f(x+4)는 그래프를 폭 4짜리 조각으로 잘라 옆으로 계속 복사한다는 뜻입니다. 조각 안쪽 경계인 x=3에서 이어지는 것은 눈에 보이지만, 조각과 조각이 맞닿는 자리(x=4가 다음 조각의 x=0이 되는 지점)도 이어져야 합니다. 미지수가 a, b 두 개인데 식이 하나뿐이라면, 두 번째 식을 못 찾은 것입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 첫 번째 연결 지점
식이 갈리는 곳은 x=3입니다. 여기서 좌극한 = 우극한 = f(3)을 세우세요.
주의: x=3은 아래쪽 식 3(x−3)이 담당하는 구간(3≤x≤4)에 속하므로 f(3)=0입니다. 좌극한은 −x²+ax+b에 x=3을 넣은 값이고요. 여기서 식 하나가 나옵니다.
주의: x=3은 아래쪽 식 3(x−3)이 담당하는 구간(3≤x≤4)에 속하므로 f(3)=0입니다. 좌극한은 −x²+ax+b에 x=3을 넣은 값이고요. 여기서 식 하나가 나옵니다.
힌트 2 — 미지수는 둘, 식은 하나
3a+b=9 하나로는 a, b가 정해지지 않습니다. 아직 쓰지 않은 조건이 남아 있습니다. f(x)=f(x+4)입니다.
x=0을 넣으면 f(0)=f(4)입니다. 좌변은 위쪽 식, 우변은 아래쪽 식으로 계산됩니다. 각각 얼마인가요?
x=0을 넣으면 f(0)=f(4)입니다. 좌변은 위쪽 식, 우변은 아래쪽 식으로 계산됩니다. 각각 얼마인가요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(4)=3(4−3)=3, f(0)=b이므로 b=3, 이를 3a+b=9에 넣으면 a=2입니다.
이제 f(10)입니다. 주기가 4이므로 10에서 4를 정의구간 [0, 4]로 들어올 때까지 빼세요. 10 → 6 → 2. x=2는 0≤x<3이므로 −x²+2x+3에 넣습니다.
이제 f(10)입니다. 주기가 4이므로 10에서 4를 정의구간 [0, 4]로 들어올 때까지 빼세요. 10 → 6 → 2. x=2는 0≤x<3이므로 −x²+2x+3에 넣습니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ④ f(10) = 3
짚고 넘어가기 — 주기함수
함수 f(x)의 정의역에 속하는 모든 실수 x에 대하여 f(x+p)=f(x)를 만족시키는 0이 아닌 상수 p가 존재할 때 f(x)를 주기함수라 하고, 이런 p 중 최소인 양수를 그 함수의 주기라고 합니다.
이 문제에서 f(0)=f(4)를 쓴 이유가 여기 있습니다. 주기함수는 구간의 양 끝이 사실상 같은 점이므로, 그래프가 끊기지 않으려면 그 두 값이 반드시 일치해야 합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x=3만 확인하고 끝낸다
식이 갈리는 자리만 보면 조건이 하나뿐이라 a, b가 결정되지 않습니다. 주기함수 문제에서는 구간의 양 끝(x=0과 x=4)이 맞닿는 지점도 반드시 연속이어야 한다는 조건을 함께 쓰세요. -
f(3)을 −x²+ax+b에 대입한다
x=3은 위쪽 식의 범위(0≤x<3)에 포함되지 않습니다. 등호가 붙은 쪽은 아래 식이므로 f(3)=3(3−3)=0입니다. 위쪽 식에 넣은 값은 함숫값이 아니라 좌극한입니다. -
f(10)에서 4를 한 번만 빼고 멈춘다
f(10)=f(6)까지 왔다면 아직 정의구간 밖입니다. f(6)=f(2)까지 내려야 −x²+2x+3을 쓸 수 있습니다. 6을 3(x−3)에 넣어 9라고 답하는 오답이 여기서 나옵니다. -
a, b를 구한 뒤 f(x) 식을 다시 정리하지 않는다
a=2, b=3을 넣어 f(x)=−x²+2x+3 (0≤x<3)으로 새로 적어 두세요. 원래 식을 그대로 둔 채 대입하면 a, b 자리에 엉뚱한 수를 넣기 쉽습니다. -
x=2가 어느 구간인지 확인하지 않는다
2는 0≤x<3이므로 위쪽 식입니다. −4+4+3=3. 구간을 헷갈려 3(x−3)에 넣으면 −3이 나옵니다. 대입 직전에 구간부터 손가락으로 짚으세요.