쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 극한과 연속
0186
난이도 상
서술형
함수가 연속일 조건
풀이영상 있음
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문제를 읽자마자
출제의도
연속을 물은 대상은 g(x)가 아니라 {g(x)}²이라는 함정
g(x)는 x=0을 경계로 식이 갈리는 함수입니다. 여기서 반사적으로 “좌극한=우극한=함숫값”을 g에 대해 세우면 틀립니다. 문제가 연속이라고 한 함수는 제곱한 {g(x)}²이고, 그래서 조건식이 k=2+k가 아니라 k²=(2+k)²로 나옵니다. 제곱이 붙으면 부호가 다른 두 값도 같아질 수 있다는 것, 그 한 가지를 보는 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 세워야 할 식부터
x=0에서 연속이라는 말은 좌극한 = 우극한 = 함숫값입니다. 단, 이 세 가지를 어느 함수에 대해 쓸지가 관건입니다.
문제가 연속이라고 한 함수는 g(x)가 아니라 {g(x)}²입니다. 세 칸을 {g(x)}²로 채워서 다시 써 보세요.
문제가 연속이라고 한 함수는 g(x)가 아니라 {g(x)}²입니다. 세 칸을 {g(x)}²로 채워서 다시 써 보세요.
힌트 2 — 함숫값과 두 극한
x=0은 x≥0 쪽이므로 g(0)=f(0+1)=f(1)=k입니다. 따라서 {g(0)}²=k².
x→0+에서는 x+1=t로 놓으면 t→1+, x→0−에서는 x−1=s로 놓으면 s→−1−입니다. f(t)=t²−t+k에 각각 넣어 보세요. 한쪽은 k, 다른 쪽은 얼마가 되나요?
x→0+에서는 x+1=t로 놓으면 t→1+, x→0−에서는 x−1=s로 놓으면 s→−1−입니다. f(t)=t²−t+k에 각각 넣어 보세요. 한쪽은 k, 다른 쪽은 얼마가 되나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
k²=(2+k)² 꼴이 되었나요? 여기서 k=2+k로 놓으면 해가 없습니다. 제곱을 풀어서 이항하세요.
k²=k²+4k+4 ⟹ 4k+4=0. 답을 얻은 뒤, 그 k에서 g(x) 자체는 x=0에서 연속인지도 한 번 확인해 보면 이 문제가 왜 제곱을 씌웠는지 보입니다.
k²=k²+4k+4 ⟹ 4k+4=0. 답을 얻은 뒤, 그 k에서 g(x) 자체는 x=0에서 연속인지도 한 번 확인해 보면 이 문제가 왜 제곱을 씌웠는지 보입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 k = −1
서술형 채점 기준
| ❶ {g(0)}²의 값을 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다 | 20% |
| ❷ x→0+에서 {g(x)}²의 극한을 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다 | 30% |
| ❸ x→0−에서 {g(x)}²의 극한을 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다 | 30% |
| ❹ k의 값을 구할 수 있다 | 20% |
풀이영상
다른 풀이 — 치환하지 말고 g(x)를 먼저 전개하기
f(x+1)=(x+1)²−(x+1)+k=x²+x+k, f(x−1)=(x−1)²−(x−1)+k=x²−3x+2+k이므로
g(x)=x²+x+k (x≥0), x²−3x+2+k (x<0)입니다.
{g(0)}²=k², x→0+ 극한은 k², x→0− 극한은 (2+k)². 결국 같은 식 k²=(2+k)²에 도달합니다. 치환의 방향(t→1+, s→−1−)을 따지기 싫다면 이 길이 실수가 적습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
제곱을 빼먹고 g(x)의 연속 조건을 세운다
가장 많이 나오는 오답입니다. g의 좌극한은 2+k, 우극한은 k이므로 k=2+k가 되어 해가 없습니다. “해가 없다”가 나왔다면 제곱을 놓친 것입니다. 실제로 k=−1일 때 g(x) 자체는 x=0에서 불연속입니다. 제곱해야 비로소 연속이 됩니다. -
g(0)을 f(0)으로 계산한다
x=0은 x≥0 구간에 포함되므로 g(0)=f(0+1)=f(1)입니다. 등호가 붙은 쪽이 어디인지 먼저 표시하고 시작하세요. -
k²=(2+k)²에서 곧바로 k=2+k로 넘어간다
A²=B²는 A=B 또는 A=−B입니다. 전개해서 4k+4=0으로 정리하는 편이 안전합니다. -
x−1=s로 치환하고 s의 방향을 쓰지 않는다
x→0−이면 s→−1−입니다. f가 다항식이라 값은 같지만, 서술형에서는 치환한 변수의 극한 방향을 쓰지 않으면 감점 요인입니다. -
답만 적고 채점 기준 네 칸을 채우지 않는다
배점이 20·30·30·20으로 쪼개져 있습니다. {g(0)}², 우극한, 좌극한을 각각 k의 식으로 적어 놓기만 해도 80%입니다. 마지막 계산에서 막혀도 답안은 반드시 여기까지 써 두세요.
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