쎈미적분1 0185 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0185
난이도 중
합성꼴 함수의 연속
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문제를 읽자마자

f를 덩어리 t로 보면, 서로 다른 두 t에서 같은 값이 나오게 만드는 문제

g=f(f+k)는 t=f(x)로 두면 t²+kt라는 이차식 하나입니다. 그런데 x→0−에서는 t→3, x→0+에서는 t→0으로 들어가는 t가 서로 다릅니다. 다른 두 t에서 같은 값이 나오도록 k를 정하는 것이 이 문제의 전부입니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — f의 값 세 개부터

g를 건드리기 전에 f부터 정리하세요. 등호가 x≤0에 붙어 있으므로 f(0)=0+3=3.
x→0−에서는 x+3이므로 f→3, x→0+에서는 −x/3이므로 f→0입니다. 우극한만 값이 다르다는 데 주목하세요.

힌트 2 — g에 그대로 넣기

g(0)=f(0){f(0)+k}=3(3+k)=9+3k, 좌극한도 3(3+k)=9+3k.
우극한은 f→0이므로 0×(0+k)=0. 이미 두 개는 같으니 남은 등식은 하나뿐입니다.

힌트 3 — 마지막 한 걸음

9+3k=0을 풀면 됩니다.
구한 k를 되돌려 넣어 g(0)이 정말 0이 되는지, 우극한도 0인지 두 줄로 확인하세요. 부호 실수는 이 검산에서 거의 다 잡힙니다.

다 풀고 나서

정답·해설 펼치기

정답 k = −3

쎈 미적분1 0185번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 이차함수의 축으로 보기

h(t)=t²+kt로 두면 필요한 조건은 h(3)=h(0)입니다. 이차함수가 t=0과 t=3에서 같은 높이라는 말은 축이 두 값의 한가운데에 있다는 뜻.
축은 t=−k/2이므로 −k/2=3/2 ⟹ k=−3. 대입 계산 없이 축 위치만으로 끝납니다.

덮기 직전에

우극한을 구할 때 f(0)=3을 그대로 쓴다
x>0 구간의 식은 −x/3이므로 x→0+에서 f→0입니다. 함숫값 3과 우극한 0은 완전히 별개입니다. 이 문제가 어긋나 있는 지점이 바로 여기입니다.
f(0)을 −x/3에 대입한다
등호가 붙은 쪽은 x≤0, 즉 x+3입니다. f(0)=3. 조각함수는 등호 위치를 먼저 확인하세요.
f(x)를 x로 바꿔 쓰며 전개한다
g=f²+kf를 x²+kx처럼 다루면 안 됩니다. f는 구간마다 다른 값을 가지므로, 반드시 f의 값(3 또는 0)을 덩어리째 넣고 계산합니다.
좌극한과 함숫값만 맞추고 끝낸다
그 둘은 이미 9+3k로 같습니다. 맞춰야 할 상대는 우극한 0입니다. 세 값을 모두 적어두면 어느 쪽이 어긋났는지 한눈에 보입니다.
구한 k를 되돌려 넣지 않는다
k=−3 ⟹ g(0)=3(3−3)=0, 우극한 0×(0−3)=0. 양쪽이 0에서 만납니다. 이 두 줄이 검산의 전부입니다.

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