쎈미적분1 0188

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 극한과 연속 · 유형 05 함수가 연속일 조건 (2)

0188
대표 문제
0/0 꼴과 연속
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쎈 미적분1 0188번 문제

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문제를 읽자마자

출제의도

분모가 0으로 가는데 극한이 존재한다 ⟹ 분자도 0으로 가야 한다

이 유형의 전부는 이 한 줄입니다. x→1에서 분모 x−1은 0으로 갑니다. 그런데 연속이라는 조건이 극한의 존재를 보장하므로, 분자 x²−ax−2도 x→1에서 0이어야 합니다. 여기서 a가 먼저 나오고, 그다음에 약분해서 b가 나옵니다. 순서를 뒤집으면 손댈 곳이 없습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 연속을 식으로 옮기기
x=1에서 연속이라는 조건을 그대로 씁니다. lim(x→1) f(x) = f(1), 즉 lim(x→1) (x²−ax−2)/(x−1) = b입니다.
이 등식이 성립하려면 왼쪽 극한이 존재해야 합니다. 그런데 분모는 0으로 갑니다. 그러면 분자는 어떻게 되어야 할까요?
힌트 2 — a부터 확정
분모→0이고 극한값이 존재하면 분자→0입니다. 즉 lim(x→1)(x²−ax−2)=0.
x=1을 대입하면 1−a−2=0. a가 바로 나옵니다. 이 한 줄을 쓰지 않고 인수분해부터 시도하면 문자가 남아서 진행되지 않습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
a=−1을 넣으면 분자는 x²+x−2=(x+2)(x−1)입니다. x−1이 약분되어 극한은 x+2 → 3, 따라서 b=3.
여기서 멈추지 마세요. 문제가 물은 것은 a도 b도 아니라 a²+b²입니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ③  a²+b² = 10

쎈 미적분1 0188번 해설 1
쎈 미적분1 0188번 해설 2

더 빠른 길 — 인수정리로 역산

극한이 존재하려면 분자가 x−1로 나누어떨어져야 합니다. 즉 x²−ax−2=(x−1)(x+k) 꼴입니다.
상수항을 비교하면 −k=−2에서 k=2, 따라서 분자는 (x−1)(x+2)이고 x의 계수 비교로 −a=1, a=−1.
약분하면 f(x)=x+2 (x≠1)이므로 b=lim(x→1)(x+2)=3. 대입 없이 계수 비교만으로 두 줄에 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • x=1을 그냥 대입해 0/0 = b라고 쓴다
    0/0은 값이 아닙니다. b는 대입값이 아니라 극한값입니다. 반드시 분자→0 조건으로 a를 먼저 확정한 뒤 약분해서 극한을 구하세요.
  • “분모→0이고 극한 존재 ⟹ 분자→0” 한 줄을 생략한다
    이 문장이 곧 a를 구하는 근거입니다. 서술형이나 논술형에서는 이 줄이 없으면 a=−1이 어디서 나왔는지 설명되지 않아 감점됩니다.
  • 1−a−2=0에서 부호를 뒤집어 a=1로 쓴다
    −a−1=0이므로 a=−1입니다. 분자가 x²−ax−2, 즉 a 앞에 이미 마이너스가 붙어 있다는 점을 놓치기 쉽습니다. a=1로 두면 분자가 x²−x−2=(x−2)(x+1)이 되어 x−1로 약분되지 않습니다. 약분이 안 되면 부호를 틀린 것입니다.
  • a만 구하고 b를 구하지 않은 채 답을 고른다
    a=−1까지만 하고 b를 1이나 0으로 짐작하면 ①이나 ②가 나옵니다. b는 x=1에서의 함숫값으로 정의되어 있고, 연속 조건이 그 값을 극한값 3으로 못 박습니다.
  • a²+b² 대신 a+b나 ab를 계산한다
    (−1)²+3²=1+9=10입니다. a+b=2, ab=−3처럼 선택지에 없는 값이 나오면 무엇을 물었는지 다시 읽으세요. 특히 a가 음수일 때 제곱을 하면 부호가 사라진다는 점을 확인하고 계산하세요.

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