쎈미적분1 0068

쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한 · 유형 06

0068
대표 문제
0/0 꼴의 극한 · 유리식
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문제를 읽자마자

0/0 꼴이면 공통인수가 숨어 있다는 뜻, 찾아서 약분하라는 문제

x=−1을 넣으면 분자도 0, 분모도 0입니다. 이건 “값이 없다”가 아니라 “분자와 분모가 (x+1)을 공통으로 갖고 있다”는 신호입니다. 분모 x²−1은 눈으로 쪼개지고, 승부처는 3차식 x³+x+2에서 (x+1)을 뽑아내는 한 단계뿐입니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 상황부터 판정하기

먼저 x=−1을 그대로 대입해 보세요. 분자 (−1)³+(−1)+2=0, 분모 (−1)²−1=0.
0/0 꼴입니다. 이 꼴에서 할 일은 딱 하나, 분자와 분모를 인수분해해서 공통인수를 약분하는 것입니다.

힌트 2 — 어떤 인수를 찾을지 정하기

분모는 x²−1=(x+1)(x−1). x→−1에서 0이 되는 쪽은 (x+1)입니다.
그렇다면 분자 x³+x+2도 반드시 (x+1)을 인수로 가져야 합니다. 조립제법으로 x³+x+2를 (x+1)로 나누어 보세요. 계수는 1, 0, 1, 2입니다.

힌트 3 — 마지막 한 걸음

x³+x+2 = (x+1)(x²−x+2)가 나왔나요? 이제 (x+1)을 약분하면 (x²−x+2)/(x−1)만 남습니다.
여기에 x=−1을 대입하세요. 분자에서 −x가 +1이 된다는 점만 조심하면 됩니다.

다 풀고 나서

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정답 −2

쎈 미적분1 0068번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 조립제법 없이 눈으로 쪼개기

x³+x+2를 (x³+1)+(x+1)로 묶어 보세요. 앞은 x³+1=(x+1)(x²−x+1), 뒤는 그대로 (x+1)이므로
x³+x+2 = (x+1){(x²−x+1)+1} = (x+1)(x²−x+2). 조립제법을 그리지 않고 한 줄로 끝납니다.

덮기 직전에

0/0을 보고 “값이 없다”로 결론낸다
0/0은 답이 아니라 신호입니다. 분모만 0이면 발산이지만, 분자도 함께 0이면 공통인수가 있다는 뜻입니다.
조립제법에서 나머지가 0인지 확인하지 않는다
나머지가 0이어야 (x+1)이 인수입니다. 나머지가 남았다면 계수를 1, 0, 1, 2로 제대로 놓았는지 다시 보세요. x² 항이 없으므로 0을 빠뜨리기 쉽습니다.
약분한 뒤에도 x=−1이 정의되지 않는다고 생각한다
극한은 x=−1 그 점의 값이 아니라 가까이 갈 때의 값입니다. 약분 후 남은 식은 x=−1에서 연속이므로 그대로 대입하면 됩니다.
x²−x+2에 −1을 넣을 때 부호를 흘린다
−x 자리에 −(−1)=+1입니다. 1+1+2=4. 여기서 2가 나왔다면 부호를 놓친 것이고, 답이 −1로 나옵니다.
중간 과정에서 lim 기호를 떼고 등호만 늘어놓는다
약분이 끝나 값을 대입하기 전까지는 모든 줄에 lim을 붙여야 합니다. 서술형에서 이 습관 하나로 감점이 나갑니다.

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