쎈미적분1 0067

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쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한

0067
난이도 상
극한의 존재성 판정
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쎈 미적분1 0067번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

극한의 성질은 각각의 극한이 존재할 때만 쓸 수 있다 — 그 조건을 지웠을 때 무너지는지 묻는 문제

ㄴ, ㄷ은 “주어진 극한들의 사칙연산으로 목표 함수를 만들 수 있는가”를 묻습니다. 만들 수 있으면 참이고, 만드는 식 자체가 증명입니다. ㄱ, ㄹ은 반대로 반례 하나면 끝납니다. 참·거짓을 눈치로 고르는 문제가 아니라, 참이면 식을, 거짓이면 함수를 손으로 써야 하는 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — ㄴ: f를 만들어 보세요
f+g와 f−g의 극한이 존재합니다. 이 둘을 더하면 2f가 됩니다.
f(x) = ½[{f(x)+g(x)} + {f(x)−g(x)}] — 극한이 존재하는 두 함수의 합의 ½배이므로 lim f(x)는 존재합니다. 값은 (α+β)/2.
힌트 2 — ㄷ: 나눗셈이 허용되는 조건
lim f(x)=α, lim f(x)g(x)=β일 때 g(x) = f(x)g(x) / f(x)로 복원할 수 있습니다.
분모의 극한 α가 0이 아니라는 단서가 바로 이 나눗셈을 허용해 주는 조건입니다. lim g(x)=β/α. 참입니다.
힌트 3 — ㄱ, ㄹ: 반례는 계단과 가우스
ㄱ은 좌우 값이 다른 계단함수 두 개를 합이 상수가 되도록 맞춰 보세요. 각각의 극한은 없는데 합의 극한은 생깁니다.
ㄹ은 ㄷ에서 빠진 조건(α≠0)을 노립니다. f(x)=0이면 f/g도 0이라 극한이 존재하지만, g는 얼마든지 튀게 만들 수 있습니다. 가우스 기호를 떠올려 보세요.

다 풀고 나서

해설

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정답 ㄴ, ㄷ

쎈 미적분1 0067번 해설

ㄷ과 ㄹ을 나란히 놓고 보세요

ㄷ은 g=(fg)/f로 복원하는 구조이고, ㄹ은 g=f/(f/g)로 복원해야 하는 구조입니다.
ㄷ에는 “lim f≠0″이라는 나눗셈 허가증이 붙어 있고, ㄹ에는 그런 단서가 없습니다. 반례에서 f≡0을 고르면 f/g의 극한도 0이 되어 나눌 수 없게 되고, g는 무엇이 되든 상관없어집니다. 두 보기의 차이는 결국 분모의 극한이 0이냐 하나뿐입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • ㄱ을 참으로 고른다
    “없는 것 + 없는 것 = 없는 것”이라는 직관이 여기서 깨집니다. 좌우로 어긋난 두 함수가 서로 상쇄되면 합은 상수가 되고 극한이 생깁니다.
  • 반례를 말로만 설명하고 넘어간다
    거짓을 주장하려면 구체적인 함수식 하나를 반드시 써야 합니다. 계단함수와 가우스 기호, 이 두 장의 카드를 항상 손에 쥐고 있으세요.
  • ㄷ의 lim f(x)≠0 조건이 왜 붙었는지 보지 않는다
    이 조건이 없으면 ㄷ도 거짓입니다. 조건을 읽고 넘어간 학생은 ㄹ까지 참으로 몰아 ㄴ, ㄷ, ㄹ을 고릅니다.
  • ㄹ에서 f를 0이 아닌 함수로만 생각한다
    f(x)=0인 상수함수도 엄연한 함수입니다. 극단값을 대입해 보는 습관이 반례 찾기의 절반입니다.
  • [x²+1]의 x→1 좌우 값을 잘못 센다
    x가 1보다 조금 작으면 x²+1은 2보다 조금 작아 값이 1, x가 1 이상이면 2입니다. 좌극한 1, 우극한 2로 갈리므로 lim g(x)는 존재하지 않습니다.


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