쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0066
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극한값과 이차방정식
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문제를 읽자마자
출제의도
합과 곱이 주어졌다는 것은 이차방정식을 만들라는 신호
극한의 성질로 lim{f(x)+g(x)}=α+β=1, lim f(x)g(x)=αβ=−6까지는 기계적으로 갑니다. 여기서 멈추지 말고 “합 1, 곱 −6인 두 수”를 근과 계수의 관계로 뒤집어 t²−t−6=0을 세우는 것이 이 문제의 전부입니다. α>β라는 단서는 두 근 중 어느 쪽이 α인지 확정하라고 붙어 있습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건을 α, β의 식으로
lim f(x)=α, lim g(x)=β가 이미 존재한다고 주어져 있으므로 극한의 성질을 마음껏 쓸 수 있습니다.
lim{f(x)+g(x)}와 lim f(x)g(x)를 α, β만의 식으로 바꿔 적어 보세요. 두 개의 조건식이 나옵니다.
lim{f(x)+g(x)}와 lim f(x)g(x)를 α, β만의 식으로 바꿔 적어 보세요. 두 개의 조건식이 나옵니다.
힌트 2 — 합과 곱을 아는 두 수
α+β=1, αβ=−6. 합과 곱을 알면 두 수는 이차방정식의 두 근입니다.
t² −(합)t +(곱) = 0, 즉 t²−t−6=(t+2)(t−3)=0. 두 근은 3과 −2이고, α>β이므로 어느 쪽이 α일까요?
t² −(합)t +(곱) = 0, 즉 t²−t−6=(t+2)(t−3)=0. 두 근은 3과 −2이고, α>β이므로 어느 쪽이 α일까요?
힌트 3 — 대입 전 마지막 점검
구하는 극한은 (α−2)/(3β+2)입니다. 대입하기 전에 분모 3β+2가 0이 아닌지 먼저 확인하세요. 0이 아니어야 분수 꼴 극한을 그대로 나눌 수 있습니다.
3β+2에서 3은 β에만 곱합니다. 3(β+2)로 읽으면 답이 달라집니다.
3β+2에서 3은 β에만 곱합니다. 3(β+2)로 읽으면 답이 달라집니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ③ −1/4
다른 풀이 — 이차방정식을 세우지 않고 연립으로
β=1−α를 αβ=−6에 대입하면 α(1−α)=−6, 즉 α²−α−6=0에서 α=3 또는 α=−2.
α>β 조건에서 α=3, β=−2. 결국 같은 이차방정식으로 돌아오지만, 근과 계수의 관계가 잘 안 떠오를 때는 이 경로가 안전합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
α>β 조건을 흘리고 α=−2, β=3으로 잡는다
이때 값은 −4/11이 되어 선택지에 아예 없거나 엉뚱한 곳에 걸립니다. 두 근을 구한 직후 대소 조건을 바로 적용하세요. -
3g(x)+2를 3(β+2)로 읽는다
3은 g에만 곱해집니다. 3·(−2)+2=−4이지 3·(−2+2)=0이 아닙니다. 분모가 0이 나왔다면 이 실수입니다. -
t²+t−6으로 부호를 잘못 세운다
두 근이 α, β인 이차방정식은 t²−(α+β)t+αβ=0입니다. 합의 부호는 반대로 들어갑니다. -
분모의 극한이 0인지 확인하지 않는다
분수 꼴의 극한을 분자·분모로 쪼개려면 분모의 극한이 0이 아니어야 합니다. 이번엔 −4라 괜찮지만, 확인하는 습관이 다음 문제를 살립니다. -
α−2를 3−2 대신 α 그대로 두고 대입을 끝낸다
분자는 lim f(x)−2=3−2=1입니다. 최종값은 1/(−4)=−1/4. 답을 1/4로 적어 부호를 놓치는 경우가 많습니다.
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