쎈미적분1 0069

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쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한 · 유형 06

0069
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쎈 미적분1 0069번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

f(x)를 구하지 말고, 약분해서 f(1)만 뽑아내라는 문제

미지 함수 f(x)가 분모에 통째로 들어 있지만, 물어본 것은 f(1) 하나입니다. x⁴−1에서 (x²−1)을 떼어내 약분하고 나면 남는 식에 x=1을 넣는 순간 f(1)만 남습니다. 다항함수라서 lim f(x)=f(1)이 성립한다는 점이 이 풀이를 떠받치는 근거입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
f(x)의 식을 알아내려 하고 있다면 멈추세요. 조건 하나로 다항함수를 특정할 수는 없고, 그럴 필요도 없습니다.
문제가 요구한 것은 f(1) 하나입니다. 목표를 여기에 고정하고 식을 정리해 보세요.
힌트 2 — 4제곱을 쪼개기
x⁴−1을 (x²)²−1²로 보세요. x⁴−1 = (x²+1)(x²−1)입니다.
분모에도 (x²−1)이 그대로 있으니 약분됩니다. 남는 식이 어떤 모양인지 적어 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
약분하면 4(x²+1)/f(x)가 남습니다. f(x)는 다항함수이므로 x→1일 때 f(x)→f(1)이고, 이 극한값은 8/f(1)입니다.
이것이 1이라고 했으므로 f(1)을 바로 읽어낼 수 있습니다. f(1)이 분모에 있다는 점만 놓치지 마세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 f(1) = 8

쎈 미적분1 0069번 해설

풀이영상

다른 접근 — 극한값 조건을 곱셈으로 옮기기

조건식을 f(1)에 대해 풀지 말고, 먼저 f(x)를 밖으로 빼내 보세요.
주어진 식은 limx→1 4(x⁴−1)/(x²−1) × limx→1 1/f(x) 로 갈라집니다. 앞쪽은 4(x²+1)이므로 8, 뒤쪽은 1/f(1). 따라서 8 × 1/f(1) = 1, f(1)=8. 두 극한이 모두 수렴하므로 이 분리가 정당합니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(x)가 분모라는 것을 잊고 8·f(1)=1로 계산한다
    답이 1/8로 나왔다면 이 경우입니다. 정리된 식은 8/f(1)이므로 f(1)이 분모에 있습니다.
  • x⁴−1을 (x−1)(x³+x²+x+1)까지만 쪼갠다
    틀린 인수분해는 아니지만 분모의 (x²−1)과 한 번에 맞물리지 않습니다. (x²+1)(x²−1)로 보는 것이 이 문제의 정답 경로입니다.
  • lim f(x) = f(1)이라는 근거를 적지 않는다
    f는 다항함수이므로 모든 실수에서 연속입니다. 이 한 줄이 있어야 극한 기호 안의 f(x)를 f(1)로 바꿔 쓸 수 있습니다. 서술형에서 배점이 걸린 부분입니다.
  • f(x)≠0 조건을 그냥 지나친다
    이 단서가 있어야 분모에서 f(x)를 약분하거나 뒤집는 조작이 허용됩니다. 조건을 왜 줬는지 확인하는 습관이 고난도에서 갈립니다.
  • 4를 중간에 흘린다
    분자의 계수 4는 끝까지 따라옵니다. 4(x²+1)에 x=1을 넣으면 4×2=8입니다. 여기서 2만 남기면 f(1)=2가 되어 버립니다.


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