쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
540번 · 양의 약수 3개 ↔ 소수의 제곱 → 근과 계수의 관계로 순서쌍 \((p,q)\) 개수
— “약수 3개”의 숨은 뜻: 소수²! 150 이하 목록에서 조건 만족 쌍 탐색!
🔥 C단계
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- 📹 풀이 영상 (약수 조건 + 근과 계수의 관계 응용)
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- 🔑 양의 약수 3개 ↔ 소수의 제곱: 4, 9, 25, 49, 121 (150 이하)
- 📐 p=α+β, q=αβ, 조건: α,β,p,q 모두 150 이하 서로 다른 자연수
- 🎯 (13,36), (29,100) 만 조건 만족 → 2개
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-px+q=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)일 때,
\(\alpha\), \(\beta\), \(p\), \(q\)는 150 이하의 서로 다른 자연수이고
\(\alpha\), \(\beta\)는 각각 양의 약수가 3개인 수입니다.
순서쌍 \((p, q)\)의 개수를 구하는 문제입니다.
💡 핵심: 양의 약수의 개수가 3개인 자연수 = 소수의 제곱!
\(n\)의 약수가 3개 ↔ \(n=p^2\) (\(p\)는 소수)
약수: 1, \(p\), \(p^2\) (딱 3개)
150 이하: \(4(=2^2)\), \(9(=3^2)\), \(25(=5^2)\), \(49(=7^2)\), \(121(=11^2)\)
\(n\)의 약수가 3개 ↔ \(n=p^2\) (\(p\)는 소수)
약수: 1, \(p\), \(p^2\) (딱 3개)
150 이하: \(4(=2^2)\), \(9(=3^2)\), \(25(=5^2)\), \(49(=7^2)\), \(121(=11^2)\)
✏️ 단계별 풀이
1
후보 목록 및 근과 계수의 관계
\(\alpha\), \(\beta\) 후보: 4, 9, 25, 49, 121
\(p=\alpha+\beta\), \(q=\alpha\beta\)
\(\alpha\), \(\beta\) 후보: 4, 9, 25, 49, 121
\(p=\alpha+\beta\), \(q=\alpha\beta\)
2
모든 쌍 점검 (α,β,p,q 모두 150 이하 & 서로 다른 자연수)
| (α, β) | p=α+β | q=αβ | 150이하? | 서로 다른 4개? |
|---|---|---|---|---|
| (4, 9) | 13 | 36 | ✅ | 4,9,13,36 모두 다름 ✅ |
| (4, 25) | 29 | 100 | ✅ | 4,25,29,100 모두 다름 ✅ |
| (4, 49) | 53 | 196 | q=196>150 ❌ | — |
| (4, 121) | 125 | 484 | q>150 ❌ | — |
| (9, 25) | 34 | 225 | q>150 ❌ | — |
| (9, 49) | 58 | 441 | q>150 ❌ | — |
| (25, 49) | 74 | 1225 | q>150 ❌ | — |
3
조건 만족 순서쌍
\((p, q)=(13, 36)\), \((29, 100)\) → 2개
\((p, q)=(13, 36)\), \((29, 100)\) → 2개
정답 : ② 2개
🧠 외워두면 좋은 패턴
약수의 개수 공식
\(n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots\)이면 약수의 개수 = \((a_1+1)(a_2+1)\cdots\)
약수 3개 ↔ \((a_1+1)=3\) → \(a_1=2\) → \(n=p^2\) (소수의 제곱!)
\(n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots\)이면 약수의 개수 = \((a_1+1)(a_2+1)\cdots\)
약수 3개 ↔ \((a_1+1)=3\) → \(a_1=2\) → \(n=p^2\) (소수의 제곱!)
⚠️ 이런 실수 조심!
- α,β,p,q가 모두 서로 다른 자연수여야 함 — (4,9)→p=13≠4,9이고 q=36≠4,9,13 ✓
- q=αβ가 150을 넘는지 확인 — (4,49)에서 q=196>150으로 탈락!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
7분
수능·모의고사
5분
🖼️ 교재 해설 이미지
