쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
538번 · \(x\), \(y\) 이차식 인수분해 — 이중 판별식 (\(D_x\)가 \(y\)의 완전제곱식) → 정수 \(k=5\)
— \(x\)에 대한 \(D_x\)를 \(y\)의 식으로 표현 → \(D_x\)가 완전제곱식 → \(D_y=0\)!
🔥 C단계
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (이중 판별식법 — x,y 이차식 인수분해)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 x에 대한 이차방정식 취급 → Dₓ=(3y+5)²+8(2y²−ky−3)=25y²+2(15−4k)y+1
- 📐 Dₓ가 y의 완전제곱식 → Dᵧ/4=(15−4k)²−25=0 → k=5/2 or 5
- 🎯 정수 k=5
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
\(x\), \(y\)에 대한 이차식 \(2x^2-3xy-2y^2+ky-5x+3\)이
\(x\), \(y\)에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 정수 \(k\)의 값을 구하는 문제입니다.
🔑 이중 판별식법
두 일차식의 곱 = \(x\)에 대한 이차방정식의 두 근이 \(y\)의 일차식
→ \(D_x\)가 \(y\)에 대한 완전제곱식이어야 함
→ \(D_x\)를 \(y\)의 이차식으로 보면 그 판별식 \(D_y=0\)
두 일차식의 곱 = \(x\)에 대한 이차방정식의 두 근이 \(y\)의 일차식
→ \(D_x\)가 \(y\)에 대한 완전제곱식이어야 함
→ \(D_x\)를 \(y\)의 이차식으로 보면 그 판별식 \(D_y=0\)
✏️ 단계별 풀이
1
x에 대한 이차방정식으로 정리
\[2x^2-(3y+5)x+(-2y^2+ky+3)=0\]
\[2x^2-(3y+5)x+(-2y^2+ky+3)=0\]
2
Dₓ 계산 (x에 대한 판별식)
\[D_x=(3y+5)^2-4\cdot2\cdot(-2y^2+ky+3)\] \[=9y^2+30y+25+16y^2-8ky-24\] \[=25y^2+(30-8k)y+1=25y^2+2(15-4k)y+1\]
\[D_x=(3y+5)^2-4\cdot2\cdot(-2y^2+ky+3)\] \[=9y^2+30y+25+16y^2-8ky-24\] \[=25y^2+(30-8k)y+1=25y^2+2(15-4k)y+1\]
3
Dₓ가 완전제곱식 → Dᵧ=0
\(D_x\)를 \(y\)의 이차식으로 보면:
\[D_y/4=(15-4k)^2-25\cdot1=225-120k+16k^2-25=0\] \[16k^2-120k+200=0 \implies 2k^2-15k+25=0\] \[(2k-5)(k-5)=0 \implies k=\frac{5}{2}\text{ 또는 }k=5\]
\(D_x\)를 \(y\)의 이차식으로 보면:
\[D_y/4=(15-4k)^2-25\cdot1=225-120k+16k^2-25=0\] \[16k^2-120k+200=0 \implies 2k^2-15k+25=0\] \[(2k-5)(k-5)=0 \implies k=\frac{5}{2}\text{ 또는 }k=5\]
4
정수 조건 적용
\(k\)는 정수이므로 \(k=5\)
\(k\)는 정수이므로 \(k=5\)
정답 : \(k=5\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(x\), \(y\) 이차식 인수분해 — 이중 판별식 루틴
① \(x\)에 대한 이차방정식으로 정리: \(ax^2+Bx+C=0\) (B, C는 y식)
② \(D_x=B^2-4aC\)를 \(y\)의 식으로 계산
③ \(D_x\)가 \(y\)의 완전제곱식 → \(D_y=0\)으로 매개변수 결정
④ 조건(정수, 자연수 등) 확인
① \(x\)에 대한 이차방정식으로 정리: \(ax^2+Bx+C=0\) (B, C는 y식)
② \(D_x=B^2-4aC\)를 \(y\)의 식으로 계산
③ \(D_x\)가 \(y\)의 완전제곱식 → \(D_y=0\)으로 매개변수 결정
④ 조건(정수, 자연수 등) 확인
⚠️ 이런 실수 조심!
- Dₓ 전개 실수 — \(4\times2\times(−2y^2+ky+3)\)의 분배 주의
- k=5/2는 정수가 아님 — 조건 확인 필수!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
8분
수능·모의고사
6분
🖼️ 교재 해설 이미지
