쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
474번 · 판별식과 삼각형의 모양 — 정삼각형
— \(D=0\) → \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\) → \(a=b=c\)
난이도 : 중
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (판별식 → 삼각형 모양 판별)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 \(D/4=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\) 전개 후 정리
- 📐 \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\)
- ⚠️ 완전제곱식의 합 = 0의 의미 이해
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+2(a+b+c)x+3(ab+bc+ca)=0\)이 중근을 가질 때,
\(a, b, c\)를 세 변의 길이로 하는 삼각형의 종류를 구하는 문제입니다.
💡 핵심 공식을 암기하면 빠릅니다!
\[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]\]
이 식이 0이면 각 제곱항이 모두 0 → \(a=b=c\)!
\[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]\]
이 식이 0이면 각 제곱항이 모두 0 → \(a=b=c\)!
✏️ 단계별 풀이
1
중근 조건 \(D/4=0\)
\[\frac{D}{4} = (a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\] 전개: \(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca\) \[=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\]
\[\frac{D}{4} = (a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\] 전개: \(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca\) \[=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\]
2
완전제곱식으로 변환
\[\frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]=0\] 세 완전제곱식의 합이 0이므로 각각 0: \[(a-b)^2=0,\quad (b-c)^2=0,\quad (c-a)^2=0\] \[\therefore\; a=b=c\]
\[\frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]=0\] 세 완전제곱식의 합이 0이므로 각각 0: \[(a-b)^2=0,\quad (b-c)^2=0,\quad (c-a)^2=0\] \[\therefore\; a=b=c\]
3
삼각형의 종류 판별
세 변의 길이가 모두 같으므로 → 정삼각형
세 변의 길이가 모두 같으므로 → 정삼각형
정답 : ① 정삼각형
🧠 외워두면 좋은 패턴
반드시 암기! 삼각형 판별 핵심 공식
\[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right] \geq 0\]
= 0이면 → \(a=b=c\) (정삼각형)
삼각형 모양 판별 관계
\(a^2=b^2+c^2\) → 직각삼각형 (직각이 \(a\) 대각)
\(a^2>b^2+c^2\) → 둔각삼각형 (둔각이 \(a\) 대각)
\(a^2<b^2+c^2\) → 예각삼각형
\[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right] \geq 0\]
= 0이면 → \(a=b=c\) (정삼각형)
삼각형 모양 판별 관계
\(a^2=b^2+c^2\) → 직각삼각형 (직각이 \(a\) 대각)
\(a^2>b^2+c^2\) → 둔각삼각형 (둔각이 \(a\) 대각)
\(a^2<b^2+c^2\) → 예각삼각형
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)를 \((a-b-c)^2\)으로 잘못 변환하는 실수 — 올바른 변환은 \(\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\)입니다.
- 중근 조건에서 판별식을 D가 아닌 D/4로 계산해야 함 — 1차 계수 \(2(a+b+c)\)에서 \(b’=a+b+c\), 따라서 \(D/4=(b’)^2-c\) 형태.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분
⚡ 핵심 공식 \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\)을 미리 외워두면 풀이 시간을 크게 줄일 수 있습니다.
🖼️ 교재 해설 이미지
