쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
470번 · \(a<2\) 조건에서 허근 판별
— \(D/4=2a-4\), \(a<2\) 대입 → \(D/4<0\)
난이도 : 중
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (계수 범위 조건 + 판별식)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 \(D/4=a^2-(a^2-2a+4)\) 전개 후 \(a<2\) 적용
- 📐 \(D/4=2a-4<0\) 판별 과정
- ⚠️ \(a^2\) 항이 약분되는 것 놓치지 않기
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
\(a<2\)일 때, 이차방정식 \(x^2+2ax+a^2-2a+4=0\)의 근을 판별하는 문제입니다.
💡 핵심: \(D/4\)를 \(a\)에 대한 식으로 정리 후 범위 조건 적용!
1차 계수가 \(2a\)로 짝수이므로 \(D/4\) 공식 사용이 유리합니다.
\(D/4 = a^2 – (a^2-2a+4)\)에서 \(a^2\)이 약분됩니다.
1차 계수가 \(2a\)로 짝수이므로 \(D/4\) 공식 사용이 유리합니다.
\(D/4 = a^2 – (a^2-2a+4)\)에서 \(a^2\)이 약분됩니다.
✏️ 단계별 풀이
1
\(D/4\) 계산
\(x^2+2ax+(a^2-2a+4)=0\)에서 \(b’=a\), \(c=a^2-2a+4\): \[\frac{D}{4} = a^2 – (a^2-2a+4) = a^2-a^2+2a-4 = 2a-4\]
\(x^2+2ax+(a^2-2a+4)=0\)에서 \(b’=a\), \(c=a^2-2a+4\): \[\frac{D}{4} = a^2 – (a^2-2a+4) = a^2-a^2+2a-4 = 2a-4\]
2
범위 조건 \(a<2\) 적용
\[a < 2 \implies 2a < 4 \implies 2a-4 < 0\] \[\therefore\; \frac{D}{4} < 0\]
\[a < 2 \implies 2a < 4 \implies 2a-4 < 0\] \[\therefore\; \frac{D}{4} < 0\]
3
근의 종류 판별
\(D/4 < 0\) → 서로 다른 두 허근을 갖는다.
\(D/4 < 0\) → 서로 다른 두 허근을 갖는다.
정답 : 서로 다른 두 허근을 갖는다
🧠 외워두면 좋은 패턴
“계수 범위 조건 + 판별식” 2단계 루틴
① \(D\) 또는 \(D/4\)를 매개변수(여기서는 \(a\))에 대한 식으로 정리
② 주어진 범위 조건을 대입해 부호 판별
\(a^2\) 항이 전개 중 소거되는 경우가 많으니 계산 후 확인!
① \(D\) 또는 \(D/4\)를 매개변수(여기서는 \(a\))에 대한 식으로 정리
② 주어진 범위 조건을 대입해 부호 판별
\(a^2\) 항이 전개 중 소거되는 경우가 많으니 계산 후 확인!
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(D/4=a^2-(a^2-2a+4)\) 전개 시 부호 실수 — \(-(a^2-2a+4)=-a^2+2a-4\) 전체 부호에 주의!
- \(a<2\)에서 \(2a-4=0\)일 가능성 검토 없이 진행하는 실수 — \(a<2\)이면 등호가 성립하지 않으므로 \(D/4<0\) (등호 없음).
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
1분 30초
수능·모의고사
1분
🖼️ 교재 해설 이미지
