쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
444번 · 분수 계수 이차방정식 — 큰 근 구하기
— 통분 정리 후 근의 공식, \(5a-\sqrt{19}\) 값 계산
난이도 : 상
📋 이 포스팅에 담긴 내용
- 📹 풀이 영상 (분수 계수 처리 과정 포함)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔢 통분 → 정수 계수 변환 완전 분석
- 📐 두 근 중 큰 근 판별 방법
- ⚠️ 분수 계수에서 자주 하는 실수
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(\dfrac{4}{3}x(x-1) – x + 4 = \dfrac{(x-3)^2}{2}\)의 두 근 중 큰 근을 \(a\)라 할 때, \(5a – \sqrt{19}\)의 값을 구하는 문제입니다.
💡 단서는 여기에 있어요!
분수 계수 \(\dfrac{4}{3}\)과 \(\dfrac{1}{2}\)을 동시에 없애려면 공통 분모 6을 곱합니다.
→ \(\dfrac{4}{3} \times 6 = 8\), \(\dfrac{1}{2} \times 6 = 3\)
양변에 6을 곱하면 계수가 모두 정수가 되어 계산이 훨씬 쉬워져요!
분수 계수 \(\dfrac{4}{3}\)과 \(\dfrac{1}{2}\)을 동시에 없애려면 공통 분모 6을 곱합니다.
→ \(\dfrac{4}{3} \times 6 = 8\), \(\dfrac{1}{2} \times 6 = 3\)
양변에 6을 곱하면 계수가 모두 정수가 되어 계산이 훨씬 쉬워져요!
✏️ 단계별 풀이
1
양변에 6을 곱해 분수 제거
\[6 \times \frac{4}{3}x(x-1) – 6x + 24 = 6 \times \frac{(x-3)^2}{2}\] \[8x(x-1) – 6x + 24 = 3(x-3)^2\]
\[6 \times \frac{4}{3}x(x-1) – 6x + 24 = 6 \times \frac{(x-3)^2}{2}\] \[8x(x-1) – 6x + 24 = 3(x-3)^2\]
2
전개 및 정리
\[8x^2 – 8x – 6x + 24 = 3(x^2-6x+9)\] \[8x^2 – 14x + 24 = 3x^2 – 18x + 27\] \[5x^2 + 4x – 3 = 0\]
\[8x^2 – 8x – 6x + 24 = 3(x^2-6x+9)\] \[8x^2 – 14x + 24 = 3x^2 – 18x + 27\] \[5x^2 + 4x – 3 = 0\]
3
근의 공식 적용
\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+60}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{10} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{5}\]
\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+60}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{10} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{5}\]
4
큰 근 \(a\) 확인 후 식 계산
\(\sqrt{19} > 0\)이므로 큰 근은 \(a = \dfrac{-2+\sqrt{19}}{5}\)
\[5a – \sqrt{19} = 5 \times \frac{-2+\sqrt{19}}{5} – \sqrt{19} = (-2+\sqrt{19}) – \sqrt{19} = \boxed{-2}\]
\(\sqrt{19} > 0\)이므로 큰 근은 \(a = \dfrac{-2+\sqrt{19}}{5}\)
\[5a – \sqrt{19} = 5 \times \frac{-2+\sqrt{19}}{5} – \sqrt{19} = (-2+\sqrt{19}) – \sqrt{19} = \boxed{-2}\]
정답 : ① \(5a – \sqrt{19} = -2\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
분수 계수 처리 패턴
분모의 최소공배수를 양변에 곱해 먼저 정수 계수로 만들고 풀기 시작한다.
큰 근 vs 작은 근 판별
\(x = \dfrac{p \pm \sqrt{q}}{r}\) 꼴에서 \(\sqrt{q} > 0\)이므로
→ + 부호 = 큰 근, — 부호 = 작은 근
\(5a\) 대입 트릭
\(a = \dfrac{-2 + \sqrt{19}}{5}\)에서 \(5a = -2 + \sqrt{19}\) 임을 이용하면 계산이 순식간에 끝납니다!
분모의 최소공배수를 양변에 곱해 먼저 정수 계수로 만들고 풀기 시작한다.
큰 근 vs 작은 근 판별
\(x = \dfrac{p \pm \sqrt{q}}{r}\) 꼴에서 \(\sqrt{q} > 0\)이므로
→ + 부호 = 큰 근, — 부호 = 작은 근
\(5a\) 대입 트릭
\(a = \dfrac{-2 + \sqrt{19}}{5}\)에서 \(5a = -2 + \sqrt{19}\) 임을 이용하면 계산이 순식간에 끝납니다!
⚠️ 이런 실수 조심!
- 분모 6을 곱할 때 한 항을 빠뜨리는 실수 — 모든 항에 빠짐없이 곱했는지 항 개수를 세어보세요.
- 큰 근을 \(-\) 부호로 잘못 선택 — 근의 공식에서 \(+\sqrt{q}\)가 큰 근임을 기억하세요.
- \(\sqrt{76} = 2\sqrt{19}\) 변환을 잊어버리는 실수 — \(76 = 4 \times 19\)임을 확인!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분 30초
⚡ 시간 단축 핵심: 양변에 LCM을 곱하는 것과 전개를 동시에 처리하는 연습이 필요합니다. 또한 \(5a-\sqrt{19}\)처럼 근을 그대로 대입하는 패턴을 익혀두면 계산이 극적으로 빨라집니다.
🖼️ 교재 해설 이미지
