쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
442번 · 이차방정식 허근 구하기
— 판별식이 음수일 때 허근을 \(a \pm \sqrt{b}\,i\) 꼴로 나타내기
난이도 : 하
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 단계별 풀이 영상 (바로 위 유튜브)
- 🖼️ 교재 해설 이미지 (아래 수록)
- 🔍 문제 핵심 분석 — 어디서 단서를 찾아야 하는가
- 📐 근의 공식 → 허근 변환 완전 정복
- ⚠️ 자주 틀리는 실수 포인트
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
- 🗺️ 추천 학습 루트 링크
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2 + 3x + 4 = 0\)의 해가 \(x = \dfrac{a \pm \sqrt{b}\,i}{2}\) 꼴로 주어졌을 때, 유리수 \(a\), \(b\)의 합을 구하는 문제입니다.
💡 단서는 여기에 있어요!
해가 \(\dfrac{a \pm \sqrt{b}\,i}{2}\) 꼴이라는 것 자체가 힌트입니다.
→ 분모가 2이고, 허수 \(i\)가 등장한다는 점에서 근의 공식을 그대로 쓰면 된다는 신호예요.
→ 판별식 \(D = 3^2 – 4 \times 1 \times 4 = 9 – 16 = -7 < 0\) → 허근 발생!
해가 \(\dfrac{a \pm \sqrt{b}\,i}{2}\) 꼴이라는 것 자체가 힌트입니다.
→ 분모가 2이고, 허수 \(i\)가 등장한다는 점에서 근의 공식을 그대로 쓰면 된다는 신호예요.
→ 판별식 \(D = 3^2 – 4 \times 1 \times 4 = 9 – 16 = -7 < 0\) → 허근 발생!
✏️ 단계별 풀이
1
근의 공식 적용
\(a=1,\ b=3,\ c=4\)를 공식 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)에 대입합니다. \[x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{2}\]
\(a=1,\ b=3,\ c=4\)를 공식 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)에 대입합니다. \[x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{2}\]
2
음수 제곱근 → 허수로 변환
\(\sqrt{-7} = \sqrt{7} \cdot i\) 이므로 \[x = \frac{-3 \pm \sqrt{7}\,i}{2}\]
\(\sqrt{-7} = \sqrt{7} \cdot i\) 이므로 \[x = \frac{-3 \pm \sqrt{7}\,i}{2}\]
3
a, b 식별 후 합 계산
문제에서 주어진 꼴 \(\dfrac{a \pm \sqrt{b}\,i}{2}\)과 비교하면
\(a = -3,\quad b = 7\)
\[\therefore\ a + b = -3 + 7 = \boxed{4}\]
문제에서 주어진 꼴 \(\dfrac{a \pm \sqrt{b}\,i}{2}\)과 비교하면
\(a = -3,\quad b = 7\)
\[\therefore\ a + b = -3 + 7 = \boxed{4}\]
정답 : 4
🧠 외워두면 좋은 패턴
판별식으로 근의 종류 먼저 확인!
\(\sqrt{-k} = \sqrt{k} \cdot i\) (단 \(k>0\)) — 반드시 암기!
근의 공식에서 분자에 \(\sqrt{-k}\)가 나오면 곧바로 \(\sqrt{k}\,i\)로 바꿔 쓰세요.
- D > 0 → 서로 다른 두 실근
- D = 0 → 중근 (같은 두 실근)
- D < 0 → 서로 다른 두 허근 ← 이번 문제!
\(\sqrt{-k} = \sqrt{k} \cdot i\) (단 \(k>0\)) — 반드시 암기!
근의 공식에서 분자에 \(\sqrt{-k}\)가 나오면 곧바로 \(\sqrt{k}\,i\)로 바꿔 쓰세요.
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(\sqrt{-7}\)을 그냥 두거나 \(7i\)로 쓰는 실수 → 반드시 \(\sqrt{7}\,i\)입니다.
- 문제에서 \(a\)가 계수 \(a\)인지 헷갈리는 경우 → 문제 내 표기와 근의 공식의 표기를 구별하세요.
- 정답을 \(a+b=4\) 대신 \(b-a=10\)으로 잘못 계산 → 구하는 것이 무엇인지 다시 확인!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분 30초
⚡ 시간 단축 비결: 판별식 계산(\(D=b^2-4ac\))을 머릿속에서 먼저 해버리고, 결과가 음수면 즉시 허근 모드로 전환. 근의 공식 분자에서 \(\sqrt{음수}\)가 나오면 자동으로 \(i\)를 붙이는 반응이 나올 때까지 반복 연습하세요.
🖼️ 교재 해설 이미지
📚 추천 학습 루트
아래 순서대로 학습하면 이 유형을 완벽하게 정복할 수 있어요! ⬇️